北京市海淀区高三数学一模试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）（2013甘肃三模）集合a=xn|x6，b=xr|x23x0，则ab（）a3，4，5b4，5，6cx|3x6dx|3x6考点：交集及其运算专题：计算题分析：根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集解答：解：集合a=xn|x6=0，1，2，3，4，5，6，b=xr|x23x0=xr|x0或x3ab=4，5，6故选b点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法化简a、b两个集合，是解题的关键2（5分）（2013海淀区一模）在极坐标系中，曲线=4cos围成的图形面积为（）ab4c4d16考点：点的极坐标和直角坐标的互化专题：计算题分析：先将原极坐标方程两边同乘以后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解圆的面积即可解答：解：将原极坐标方程为=4cos，化成：2=4cos，其直角坐标方程为：x2+y2=4x，是一个半径为2的圆，其面积为4故选c点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得3（5分）（2013海淀区一模）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值（）a2b1cd2考点：程序框图专题：图表型分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足，执行输出y，可得答案解答：解：经过第一次循环得到x=3，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=1，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=1，满足判断框中的条件；执行“是”，y=21=，输出y值为故选c点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用的方法是：写出前几次循环的结果，找规律4（5分）（2013海淀区一模）不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为（）a2b1c0d1考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得a（1，3），b（，），c（1，k）sabc=acd（d为b到ac的距离）=（3k）（1）=1，k=1故选d点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题5（5分）（2013甘肃三模）若向量，满足|=|=|+|=1，则 的值为（）abc1d1考点：向量的模专题：平面向量及应用分析：利用即可得到解答：解：，故选a点评：熟练掌握向量的运算法则是解题的关键6（5分）（2013海淀区一模）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）a12种b15种c17种d19种考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：由分步计数原理可得总的取法由27种，列举可得不合题意得有8种，进而可得符合题意得方法种数解答：解：由题意结合分部计数原理可得，总的取球方式共333=27种，其中，（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（1，2，2），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2）共8种不符合题意，故取得小球标号最大值是3的取法有278=19种，故选d点评：本题考查计数原理的应用，采用间接的方式结合列举法是解决问题的关键，属中档题7（5分）（2013海淀区一模）抛物线y2=4x的焦点为f，点p（x，y）为该抛物线上的动点，又点a（1，0），则的最小值是（）abcd考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过抛物线的定义，转化pf=pn，要使有最小值，只需apn最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值解答：解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=1，a（1，0），过p作pn垂直直线x=1于n，由抛物线的定义可知pf=pn，连结pa，当pa是抛物线的切线时，有最小值，则apn最大，即paf最大，就是直线pa的斜率最大，设在pa的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k24）x+k2=0，所以=（2k24）24k4=0，解得k=1，所以npa=45，=cosnpa=故选b点评：本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，题目新颖8（5分）（2013海淀区一模）设l1，l2，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线给出下列三个结论：aili（i=1，2，3），使得a1a2a3是直角三角形；aili（i=1，2，3），使得a1a2a3是等边三角形；三条直线上存在四点ai（i=1，2，3，4），使得四面体a1a2a3a4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体其中，所有正确结论的序号是（）abcd考点：命题的真假判断与应用专题：空间位置关系与距离分析：本题利用画图结合运动变化的思想进行分析我们不妨先将 a、b、c 按如图所示放置，容易看出此时 bcab=ac现在，我们将 a 和 b 往上移，并且总保持 ab=ac（这是可以做到的，只要 a、b 的速度满足一定关系），而当a、b 移得很高很高时，就得到和都是正确的至于，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可解答：解：我们不妨先将 a、b、c 按如图所示放置容易看出此时 bcab=ac现在，我们将 a 和 b 往上移，并且总保持 ab=ac（这是可以做到的，只要 a、b 的速度满足一定关系），而当a、b 移得很高很高时，不难想象abc 将会变得很扁，也就是会变成顶角 a“非常钝”的一个等腰钝角三角形于是，在移动过程中，总有一刻，使abc 成为等边三角形，亦总有另一刻，使abc 成为直角三角形（而且还是等腰的）这样，就得到和都是正确的至于，如图所示为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为假设 a 是，那么由 adab，adac 知 l3abc，从而abc 三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与 abac 矛盾同理可知 d 是时也矛盾；假设 c 是，那么由 bcca，bccd 知 bccad，而 l1cad，故 bcl1，从而 bc 为 l1与 l2 的距离，于是 efbc，ef=bc，这样就得到 effg，矛盾同理可知 b 是时也矛盾综上，不存在四点ai（i=1，2，3，4），使得四面体a1a2a3a4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体故选b点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力、化归与转化思想属于难题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）（2013海淀区一模）在复平面上，若复数a+bi（a，br）对应的点恰好在实轴上，则b=0考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复数的几何意义和点在实轴上的特点即可得出解答：解：由复数的几何意义可知：复数a+bi（a，br）对应的点为（a，b），此点恰好在实轴上，b=0故答案为0点评：正确理解复数的几何意义是解题的关键10（5分）（2013海淀区一模）等差数列an中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=14考点：等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质可得得a2+a5=a3+a4=9，结合a2a5=18，可解得a2，a5的值，可得公差，进而可得a1，a6，相乘可得解答：解：由等差数列的性质可得a2+a5=a3+a4=9，又a2a5=18，解得，或，故可得数列的公差d=1，或1故可得，或，故a1a6=14故答案为：14点评：本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题11（5分）（2013海淀区一模）如图，apo切于点a，交弦db的延长线于点p，过点b作圆o的切线交ap于点c若acb=90，bc=3，cp=4，则弦db的长为考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段专题：选作题分析：在rtbcp中，由勾股定理可得bp，由切线长定理可得ac=bc，再利用切割线定理可得db解答：解：bcap，bp2=bc2+cp2=32+42=25，bp=5又ac与bc都是o的切线，ac=bc=3，由切割线定理可得pa2=pbpd，72=5（5+db），解得弦db的长为故答案为点评：熟练掌握勾股定理、切线长定理、切割线定理是解题的关键12（5分）（2013海淀区一模）在abc中，若a=4，b=2，cosa=，则c=3，sinc=考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系专题：计算题；解三角形分析：由余弦定理可得，cosa=可求c，然后由cosa可求sina，然后由正弦定理可得，可求sinc解答：解：由余弦定理可得，cosa=即c2+c12=0c=3cosa=sina=由正弦定理可得，sinc=故答案为：3，点评：本题主要考查余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是公式的灵活应用13（5分）（2013海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是a1考点：根的存在性及根的个数判断专题：数形结合分析：由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案解答：解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至少1个单位，故a1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点0，解得a0或a，综合可得a1，故答案为：a1点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题14（5分）（2013海淀区一模）已知函数f（x）=sinx，任取tr，定义集合：at=y|y=f（x），点p（t，f（t），q（x，f（x）满足|pq|设mt，mt分别表示集合at中元素的最大值和最小值，记h（t）=mtmt则（1）函数h（t）的最大值是2；（2）函数h（t）的单调递增区间为（2k1，2k），kz考点：函数的值域专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）理清at=y|y=f（x），点p（t，f（t），q（x，f（x）满足|pq|的含义为：表示以p点为圆心，为半径的圆及其内部函数y=sin的图象上所有的点的纵坐标的集合，再利用正弦函数的周期性、单调性与最值可求得mt，mt，从而可求得函数h（t）=mtmt的最大值；（1）由（1）结合正弦函数的周期性与单调性即可求得函数h（t）的单调递增区间解答：解：at=y|y=f（x），点p（t，f（t），q（x，f（x）满足|pq|表示以p点为圆心，为半径的圆及其内部函数y=sin的图象上所有的点的纵坐标的集合，f（2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（1）=1，设o（0，0），a（1，1），b（2，0），则ao=ab=，mt=，其中x0是最高点q的横坐标，同理，mt=；其中x1是最低点q的横坐标函数h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），单调增区间是（2k1，2k）点评：本题考查函数的值域，着重考查抽象函数的理解与应用，明确at=y|y=f（x），点p（t，f（t），q（x，f（x）满足|pq|2的含义是难点，也是解决问题的关键，考查抽象思维能力与综合运算能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）（2013海淀区一模）已知函数f（x）=2（sinxcosx）2（）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（i）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+），由此求得f（x）的周期（ii）当x，时，根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值解答：解：（i）因为函数f（x）=2（sinxcosx）2 =2（3sin2x+cos2x2sinxcosx）=2（1+2sin2xsin2x）=12sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）所以，f（）=2sin（2+）=2sin=，所以，f（x）的周期为 t=（ii）当x，时，2x，2x+，所以，当2x+=，即当x=时，函数取得最小值 f（）=1，当2x+=，即当x=时，函数取得最大值 f（）=2点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16（13分）（2013海淀区一模）在某大学自主招生考试中，所有选报ii类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为a，b，c，d，e五个等级某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为b的考生有10人（i）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为a的人数；（ii）若等级a，b，c，d，e分别对应5分，4分，3分，2分，1分（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差专题：计算题；概率与统计分析：（i）由数学与逻辑中成绩等级为b的考生有10人，频率为，可求考场中的人数，然后结合其频率可求（ii） 结合频率分布直方图可求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为（）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20，然后求出去每个值对应的概率，即可求解出的分布列及的数学期望解答：解：（i）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为b的考生有10人，所以该考场有=40人（1分）所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为a的人数为40（10.3750.3750.150.025）=3（3分）（ii） 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为=2.9（7分）（）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20（8分）p（=16）=，p（=17）=p（=18）=p（=19）=p（=20）=所以的分布列为x1617181920p（11分）所以e=16=所以的数学期望为（13分）点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望值的求解，解题的关键是熟练掌握基本公式的应用17（14分）（2013海淀区一模）在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc是正三角形，ac与bd的交点m恰好是ac中点，又pa=ab=4，cda=120，点n在线段pb上，且pn=（）求证：bdpc；（）求证：mn平面pdc；（）求二面角apcb的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由正三角形的性质可得bdac，利用线面垂直的性质可知pabd，再利用线面垂直的判定定理即可证明bdpc；（）利用已知条件分别求出bm、md、pb，得到，即可得到mnpd，再利用线面平行的判定定理即可证明；（）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的平面角解答：证明：（i）abc是正三角形，m是ac中点，bmac，即bdac又pa平面abcd，pabd又paac=a，bd平面pacbdpc（）在正abc中，bm=在acd中，m为ac中点，dmac，ad=cdadc=120，在等腰直角pab中，pa=ab=4，pb=，mnpd又mn平面pdc，pd平面pdc，mn平面pdc（）bad=bac+cad=90，abad，分别以ab，ad，ap为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，b（4，0，0），c，p（0，0，4）由（）可知，为平面pac的法向量，设平面pbc的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，则平面pbc的一个法向量为，设二面角apcb的大小为，则所以二面角apcb余弦值为点评：熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键18（13分）（2013海淀区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a0）在x=1处取得极值（i） 当a=1时，求f（x）的单调区间；（ii） 若f（x）在（0，e上的最大值为1，求a的值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（i）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=1是f（x）的一个极值点f（1）=0，可构造关于a，b的方程，根据a=1求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；（ii）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果解答：解：（i）因为f（x）=lnx+ax2+bx所以f（x）=+2ax+b，（2分）因为函数f（x）=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值f（1）=1+2a+b=0（3分）当a=1时，b=3，f（x）=，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增 极大值减 极小值增（5分）所以f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+）单调递减区间为（，1）（6分）（ii）因为f（x）=令f（x）=0，x1=1，x2=（7分）因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x2=x1=1，当0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e上单调递减所以f（x）在区间（0，e上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=2（9分）当a0，x2=0当1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增所以最大值1可能在x=或x=e处取得而f（）=ln+a（）2（2a+1）=ln0所以f（e）=lne+ae2（2a+1）e=1，解得a=（11分）当1e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增所以最大值1可能在x=1或x=e处取得而f（1）=ln1+a（2a+1）0所以f（e）=lne+ae2（2a+1）e=1，解得a=，与1x2=e矛盾（12分）当x2=e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a（2a+1）0，矛盾综上所述，a=或a=2（13分）点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键属于中档题19（14分）（2013海淀区一模）已知圆m：（x）2+y2=r2=r2（r0）若椭圆c：+=1（ab0）的右顶点为圆m的圆心，离心率为（i）求椭圆c的方程；（ii）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆c分别交于a，b两点，与圆m分别交于g，h两点，点g在线段ab上，且|ag|=|bh|，求圆m半径r的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆心可得a值，进而由离心率可得c值，根据平方关系可得b值；（ii）由点g在线段ab上，且|ag|=|bh|及对称性知点h不在线段ab上，所以要使|ag|=|bh|，只要|ab|=|gh|，设a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|ab|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|gh|，根据|ab|=|gh|得r，k的方程，分离出r后按k是否为0进行讨论，借助基本函数的范围即可求得r范围；解答：解：（i）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆m的圆心（，0），得a=，又，所以c=1，b=1所以椭圆c的方程为：（ii）设a（x1，y1），b（x2，y2），由直线l与椭圆c交于两点a，b，则，所以（1+2k2）x22=0，则x1+x2=0，所以=，点m（，0）到直线l的距离d=，则|gh|=2，显然，若点h也在线段ab上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，所以要使|ag|=|bh|，只要|ab|=|gh|，所以=4，=2，当k=0时，r=，当k0时，2（1+）=3，又显然2，所以，综上，点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握20（13分）（2013海淀区一模）设a（xa，ya），b=（xb，yb）为平面直角坐标系上的两点，其中xa，ya，xb，ybz令x=xbxa，y=ybya，若|x|+|y|=3，且|x|y|0，则称点b为点a的“相关点”，记作：b=i（a）已知0（x0，y0）（x0y0z）为平面上一个定点，平面上点列pi满足：pi=i（pi1），且点pi的坐标为（xiyi），其中i=1，2，3，n（）请问：点p0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（）求证：若p0与pn重合，n一定为偶数；（）若p0（1，0），且yn=100，记t=，求t的最大值考点：数列的求和；圆的标准方程专题：计算题；证明题；综合题；等差数列与等比数列；直线与圆分析：（i）根据绝对值的意义，可得整数x与y在1，2中取值，满足绝对值的和等于3，由此可得点p0的相关点有8个，再根据圆的标准方程可得这些可能值对应的点在以p0（x0，y0）为圆心，为半径的圆上；（ii）因为pn（xn，yn）与p0（x0，y0）重合，用逐项作差再累加的方法得到等式，再将所得等式相加证出（xixi1）+（yiyi1）=0，结合题意（xixi1）+（yiyi1）（i=1，2，3，n）为奇数，可得左边是n个奇数的和，根据整数加减法的奇偶性质即可得到n一定为偶数；（ii）令xi=xixi1，yi=yiyi1（i=1，2，3，n），依题意可得（yiyi1）=100由|xi|+|yi|=3且|xi|的|yi|都是非零整数，可得当xi=2的个数越多，且在x1，x2，x3，xn1，xn这个序列中，数字2的位置越靠前，应的t值越大，从而得到当yi取值为1或1的次数最多时，相应地xi取2的次数最多，可使t的值最大然后分n=100、n100和50n100时三种情况加以讨论，分别根据式子中1、2的个数，结合等差数列求和公式算出t关于n的表达式，即可得到t达到最大值时，t关于n的分段函数的表达式，得到本题答案解答：解：（）|x|+|y|=3，（|x|y|0）|x|=1且|y|=2，或|x|=2且|y|=1，所以点p0的相关点有8个（2分）又（x）2+（y）2=3，即（x1x0）2+（y1y0）2=5这些可能值对应的点在以p0（x0，y0）为圆心，为半径的圆上（4分）（）依题意pn（xn，yn）与p0（x0，y0）重合则xn=（xnxn1）+（xn1xn2）+（xn2xn3）+（x3x2）+（x2x1）+（x1