高中数学《双曲线及其标准方程》导学案 北师大版选修11 (2)(1).doc

第7课时双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义.2.掌握双曲线的标准方程、几何图形.3.理解标准方程中a,b,c的关系,并能利用双曲线中a,b,c的关系处理“焦点三角形”中的相关运算.如图所示,某农场在m处有一堆肥料沿道路ma或mb送到稻田abcd中去,已知|ma|=6,|mb|=8,|bc|=3,amb=90,能否在稻田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿ma送肥料较近,而另一侧沿mb送肥料较近?若能,请建立适当的直角坐标系,求出这条界线的方程.问题1:双曲线的标准方程的定义双曲线的标准方程分两种情况:焦点在x轴上时,双曲线标准方程为(a0,b0);焦点在y轴上时,标准方程为(a0,b0).问题2:双曲线的定义中应注意的问题双曲线的定义用代数式表示为mf1-mf2=2a(0ac),关于定义要重点注意两点:(1)注意定义表述中的“绝对值”字眼,如果取消绝对值的限制,则动点的轨迹可分为以下几种情况:若mf1-mf2=2a(0ac),则轨迹为双曲线中焦点对应的一支;若mf2-mf1=2a(0a|f1f2|)|mf1|-|mf2|=2a(02a0,b0),点a,b在双曲线右支上,线段ab经过双曲线的右焦点f2,|ab|=m,f1为另一个焦点,则abf1的周长为().a.2a+2mb.4a+2mc.a+md.2a+4m求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上.(2)右焦点与抛物线y2=24x的焦点是同一个点,经过点a(6,5).已知动圆与c1:(x+3)2+y2=9外切,且与c2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心m的轨迹方程.1.双曲线x210-y22=1的焦距为().a.32b.4c.33d.432.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为().a.-1k1c.k1或kf1f2问题3:(1)x2a2-y2b2=1(a0,b0)(2)y2a2-x2b2=1(a0,b0)(3)mx2+ny2=1(mnb0)x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2+x2b2=1(ab0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)基础学习交流1.d根据双曲线的定义可得.2.c因为b2=c2-a2=49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方程为x225-y224=1或y225-x224=1.3.-1因为双曲线焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y2-8k-x2-1k=1,所以k0,又(0,3)是双曲线的一个焦点,则c=3,于是有-8k-1k=32=9,解得k=-1.4.解:(1)设双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),所以a2+b2=9,16a2-15b2=1,解得a2=4,b2=5,所以所求双曲线的标准方程为y24-x25=1.重点难点探究探究一:【解析】(1)设双曲线的两个焦点分别为a,b,由定义,|pa|-|pb|=4,|8-|pb|=4,|pb|=4或|pb|=12.(2)在x29-y216=1中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25,c=5,|pf2|=|f1f2|=2c=10.又p为双曲线c的右支上一点,|pf1|-|pf2|=2a=6,|pf1|=16.过点f2作f2tpf1于t,则t为pf1的中点,且|pt|=8,|f2t|=6,spf1f2=12166=48.【答案】(1)c(2)c【小结】双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的点p(x0,y0)满足方程x02a2-y02b2=1(a0,b0),符合定义|pf1|-|pf2|=2a.双曲线上的点p与其两个焦点f1,f2连接而成的三角形pf1f2称为焦点三角形.令|pf1|=r1,|pf2|=r2,f1pf2=,因为|f1f2|=2c,所以有:定义:|r1-r2|=2a;余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos ;面积公式:spf1f2=12r1r2sin .一般地,在pf1f2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.探究二:【解析】(1)(法一)椭圆x24+y2=1的焦点是(-3,0)和(3,0),双曲线的焦点也在x轴上,且c=3.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则4a2-1b2=1且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故标准方程为x22-y2=1.(法二)椭圆x24+y2=1的焦点坐标为(-3,0)和(3,0),双曲线的两个焦点坐标也是(-3,0)和(3,0).点(2,1)在双曲线上,则2a=|(2+3)2+1-(2-3)2+1|=2(3+1)-2(3-1)=22,a=2.从而b2=3-2=1.双曲线的标准方程为x22-y2=1.(2)(法一)当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由p1,p2在双曲线上,知(-2)2a2-(325)2b2=1,(437)2a2-42b2=1,解之得1a2=-116,1b2=-19.不合题意,舍去;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).由p1,p2在双曲线上,知(325)2a2-(-2)2b2=1,42a2-(437)2b2=1,解之得1a2=19,1b2=116,即a2=9,b2=16.故所求双曲线方程为y29-x216=1.(法二)双曲线的焦点位置不确定,可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0,b0)或y2a2-x2b2=1(a0,b0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn0).(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可求得标准方程.探究三:【解析】设动圆m的半径为r.(1)c与m内切,点a在c外.mc=r-2,ma=r,ma-mc=2,点m的轨迹是以c、a为焦点的双曲线,且有a=22,c=2,b2=c2-a2=72,点m的轨迹方程为2x2-2y27=1.(2)m与c1、c2都外切,设动圆m的半径为r.mc1=r+1,mc2=r+2,mc2-mc1=1,点m的轨迹是以c2、c1为焦点的双曲线,且有a=12,c=1,b2=c2-a2=34.点m的轨迹方程为4y2-4x23=1.问题(1)(2)中的轨迹都是完整的双曲线吗?结论不是,根据双曲线的定义,轨迹都应该是双曲线的一支.于是正确解答如下:设动圆m的半径为r.(1)c与m内切,点a在c外.mc=r-2,ma=r,ma-mc=2.点m的轨迹是以c、a为焦点的双曲线的左支,且有a=22,c=2,b2=c2-a2=72,点m的轨迹方程为2x2-2y27=1(x-22).(2)m与c1、c2都外切,设动圆m的半径为r,mc1=r+1,mc2=r+2,mc2-mc1=1,点m的轨迹是以c2、c1为焦点的双曲线的上支,且有a=12,c=1,b2=c2-a2=34.易求两圆交点坐标为(154,34),观察图像可知,x必须满足x154,点m的轨迹方程为4y2-4x23=1(y12,x154).【小结】如果求解的动点轨迹方程是双曲线方程,要特别注意所得轨迹是双曲线的两支还是其中一支.思维拓展应用应用一:b设abf1的周长为z,则z=|af1|+|bf1|+|ab|=(|af1|-|af2|)+(|bf1|-|bf2|)+|af2|+|bf2|+|ab|=(|af1|-|af2|)+(|bf1|-|bf2|)+2|ab|=2a+2a+2m=4a+2m.应用二:(1)由题设a=3,c=4,由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为x29-y27=1.(2)由y2=24x得抛物线焦点坐标为(6,0),c=6.因为点a(6,5)在双曲线上,所以点a与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a,即2a=|(6+6)2+(5-0)2-(6-6)2+(5-0)2|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20.因此,所求双曲线的标准方程是x216-y220=1.应用三:设动圆圆心m的坐标为(x,y),半径为r,则|mc1|=r+3,|mc2|=r-1,|mc1|-|mc2|=r+3-r+1=40,1-k0,解得k-1,k1,即-1k1.3.33由双曲线方程x264-y236=1知,a=8,b=6,则c=a2+b2=10.p是双曲线上一点,|pf1|-|pf2|=2a=16,又|pf1|=17,|pf2|=1或|pf2|=33.又|pf2|c-a=2,|pf2|=33.4.解:当k=0时,方程变为y=2,表示两条与x轴平行的直线;当k=1时,方程变为x2+y2=4表示圆心在原点,半径为2的圆;当k0时,方程变为y24-