吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学 214函数的奇偶性学案 新人教B版必修1.doc

2.1.4函数的奇偶性一学习要点：函数的奇偶性的定义、性质及其简单应用二学习过程：引例：已知函数，则有 ， 讨论与、与的关系。1. 函数奇偶性的定义： 奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数。 偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数。 非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。 奇偶性：如果一个函数在其定义域上是奇函数或是偶函数，则称函数具有奇偶性。注意：（1） “对任意，都有”，说明函数的定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。否则，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就不具有奇偶性；（2）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数也未必具有奇偶性，还需判断是否等于，或判断是否等于零，或判断是否等于等等。（3） 从函数奇偶性的角度，可将函数分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数以及既是奇函数又是偶函数；2 函数奇偶性的性质：（1） 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。（2） 如果一个函数是偶函数，则它的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数。注意：（1） 若奇函数在处有定义，则；（2） 既是奇函数又是偶函数的函数图象在轴上。如是既奇又偶函数；（3） 从区间看：函数的奇偶性是“整体”性质，单调性是“局部”性质。从图像看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性。例1 判断下列函数是否具有奇偶性：（1）； （2）；（3）； （4）例2判断下列函数是否具有奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）3. 判断奇偶性的方法： 定义法：第一步，考查函数的定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不是关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。第二步，若关于原点对称，再考查与关系。若，则 为奇函数；若，则为偶函数。 图像法：图像关于原点对称奇函数； 图像关于轴对称偶函数。 性质法：偶偶偶；偶偶偶；偶偶偶；偶偶偶；奇奇奇；奇奇奇；奇奇偶；奇奇偶；偶奇奇。4. 函数奇偶性的应用：例3 已知函数是偶函数，时，求时的解析式。5. 奇偶函数的单调性： 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。例4设函数是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数，实数满足不等式，求实数的取值范围。例5 研究函数的性质并作出它的图象。课堂练习1下列函数中，是偶函数的是（ ） a b c d2函数的奇偶性是（ ） a奇函数 b偶函数 c非奇非偶函数 d既奇又偶函数3下列说法错误的是（ ） a是偶函数 b偶函数的图象关于轴对称 c是奇函数 d奇函数的图象关于原点成中心对称4给出四个结论： 偶函数的图象一定与轴相交； 奇函数的图象一定通过原点； 偶函数的图象关于轴对称； 既是奇函数又是偶函数的函数一定是其中正确命题的个数是（ ） a b c d5若奇函数在区间上是增函数，且最小值是4，则它在区间上是（ ） a增函数且最小值是 b增函数且最大值是 c减函数且最大值是 d减函数且最小值是6给出下列函数表达式： ； ； ； ； ，； ； ； 其中奇函数为 ；偶函数为 ；非奇非偶函数为 7函数，则的奇偶性是（ ） a奇函数 b偶函数 c非奇非偶函数 d既奇又偶函数8已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（ ） a b c d9函数是定义在区间上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ） a b c d10函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在的最小值为（ ） a b c d以上都不对11已知，则等于（ ） a b c d12给出下列函数： ； ； ； ； ； 其中奇函数为 ；偶函数为 ；非奇非偶函数为 xyoy13偶函数的局部图象如图，若，则与的大小关系为 14设