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平面上两点间的距离 高二数学组 已知四点 则四边形abcd是否为平行四边形 分析 如何判断一个四边形是否为平行四边形 1 判断两组对边是否对应平行 2 判断一组对边是否平行且相等 问题 如何计算两点间的距离 3 对角线互相平分的四边形为平行四边形 过点 向 轴作垂线 过点 向 轴作垂线 两条垂线交于点 则点 的坐标是 且 所以 在中 因此 间的距离 类似可得 所以 同理有 故四边形abcd为平行四边形 如果 过分别向轴 轴作垂线交于点 则点的坐标为 合作探究 所以 在中 因为 由此 我们得到平面上两点间的距离公式 1 求两点间的距离 已知两点间的距离是17 求实数的值 分析 利用距离公式 例1 例题讲解 例2 现在再来考察本节开头的问题 由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 所以 只需说明对角线ac和bd的中点相同 即可推得四边形abcd为平行四边形 那怎样求线段ac中点的坐标呢 设线段ac的中点m的坐标为 过点a m c向轴作垂线 垂足分别为 则 的横坐标分别为 由 得 解得 同理可得 所以线段的中点坐标为 同理可得线段 的中点坐标也为 因此四边形 的对角线 在 点互相平分 故这个四边形为平行四边形 一般地 对于平面上两点 线段的中点是 则 此即中点坐标公式 中点坐标公式的证明 可仿照上例的推导过程加以证明 亦可用距离公式及斜率公式证明 下面我们仅就的情况 用后一种方法加以证明 由得三点共线 第一步 利用斜率公式证明点在上 第二步 利用距离公式证明 由 得 所以点为的中点 当时 结论显然成立 分析 先利用中点坐标公式求出点m的坐标 可利用两点式求中线am所在直线的方程 再利用两点间距离公式求得中线am的长 已知的顶点坐标为 求bc边上的中线am的长和am所在的直线方程 例3 例4 由两点间距离公式易证得 已知是直角三角形 斜边 的中点为 建立适当的直角坐标系 证明 分析 设出两点坐标 则由中点坐标公式 练习 0练习 小结 1 平面上两点间的距离
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