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2 4 1函数的零点 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 函数y ax2 bx c a 0 的图象 判别式 b2 4ac 0 0 0 函数的图象与x轴的交点 有两个相等的实数根x1 x2 没有实根 x1 0 x2 0 x1 0 没有交点 两个不相等的实数根x1 x2 一般地 如果函数y f x 在实数处的值等于0 即f 0 则叫做函数y f x 的零点 在坐标系中表示图像与x轴的公共点是 0 点 方程f x 0有实数根 函数零点的定义 等价关系 方程的根与函数的零点之间的关系 一 从二次函数的图像看函数零点的性质 当函数的图象通过零点且穿过x轴时 函数值变号 两个零点把x轴分为三个区间 在每个区间上函数值保持同号 二求出二次函数的零点及其顶点坐标 又能粗略地画出函数草图 确定二次函数的一些主要性质 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 在区间 2 4 上 f 2 0 f 4 0 f 2 f 4 0在区间 2 4 上 x 3是x2 2x 3 0的另一个根 零点存在性的探索 在区间 2 1 上 f 2 0 f 1 0 则f 2 f 1 0 在区间 2 1 上 x 1是x2 2x 3 0的一个根 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 注 只要满足上述两个条件 就能判断函数在指定区间内存在零点 结论 1 对于定义在r上的函数y f x 若f a f b 0 a br 且a b 则函数y f x 在 a b 内 a只有一个零点b至少有一个零点c无零点d无法确定有无零点 练一练 2 如果二次函数y x2 2x m 3 有两个不同的零点 则m的取值范围是 ax 2bx2dx 23 函数f x x3 16x的零点为 a 0 0 4 0 b0 4c 4 0 0 0 4 0 d 4 0 44 函数f x x3 3x 5的零点所在的大致区间为 a 1 2 b 2 0 c 0 1 d 0 b b d a 5 已知函数f x 的图象是连续不断的 有如下的x f x 对应值表 那么函数在区间 1 6 上的零点至少有 个a5b4c3d2 c 确定函数零点所在大致区间及零点个数的方法 步骤 1 作出x f x 的对应值表格 2 作出y f x 的图象 3 确定y f x 的单调性情况 4 作出判断 归纳 小结 小
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