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空间向量应用 证明平行 垂直 前段时间我们研究了用空间向量求角 包括线线角 线面角和面面角 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题 立体几何中的有关证明问题 大致可分为 平行 垂直 两大类 平行 线面平行 面面平行 垂直 线线垂直 线面垂直和面面垂直 一 用空间向量处理 平行 问题 二 用空间向量处理 垂直 问题 例1 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 e f分别是bb1 dd1的中点 求证 1 fc1 平面ade 2 平面ade 平面b1c1f 证明 如图1所示建立空间直角坐标系d xyz 则有d 0 0 0 a 2 0 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 e 2 2 1 f 0 0 1 所以 设 分别是平面ade 平面b1c1f的法向量 则 同理可求 1 又fc1 平面ade 平面ade 平面ade 平面b1c1f 2 取y 1 则 1 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 o 1 底面为直角的直三棱柱 想一想 如下的立体图应该怎样建立空间直角坐标系 2 正四棱锥 3 正三棱柱 小结1 建立合理的空间直角坐标系 2 相关的点的坐标及其向量正确 f e x y z 例2 在正方体abcd 中 e f分别为bd 的中点 求证 平面bde 例3如图 在正三棱柱abc a1b1c1中ab a e f分别是bb1 cc1上的点 且be a cf 2a 求证 面aef 面acf a f e c1 b1 a1 c b x z y a f e c1 b1 a1 c b z y 不防设a 2 则a 0 0 0 b 1 0 c 0 2 0 e 1 2 f 0 2 4 ae 1 2 af 0 2 4 因为 x轴 面acf 所以可取面acf的法向量为m 1 0 0 设n x y z 是面aef的法向量 则 x nae 3x y 2z 0 naf 2y 4z 0 x 0 y 2z 令z 1得 n 0 2 1 显然有mn 0 即 m n 面aef 面acf 证明 如图 建立空间直角坐标系a xyz a f e c1 b1 a1 c b z y 不防设a 2 则a 0 0 0 b 1 0 c 0 2 0 e 1 2 f 0 2 4 ae 1 2 af 0 2 4 因为 x轴 面acf 所以可取面acf的法向量为m 1 0 0 设n x y z 是面aef的法向量 则 x nae 3x y 2z 0 naf 2y 4z 0 x 0 y 2
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