高考数学一轮复习 6.7数学归纳法练习 理.doc

第七节数学归纳法数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当nk(kn*，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n01，n02等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当nk(kn*，且kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(c)a2 b3 c5 d6解析：当n4时，2nn21不成立，n5时，2nn21成立，所以取n05.2下列代数式中(其中kn*)，能被9整除的是(c)a667k b27k1 c3(27k) d2(27k1)解析：(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nn*)命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36，这就说明，当kn1时命题也成立故选c.3(2013厦门质检)观察下列不等式：1，11，1，12，1，由此猜测第n个不等式为1(nn*)解析：3221，7231，15241，可猜测：1.4在数列an中，a1，且snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是an(nn*)解析：a1，a2，a3，猜想an.高考方向1.高考对数学归纳法较少单独考查，一般和合情推理、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇点处命题.2.题型以解答题为主，难度中等偏上.1已知f(x).(1)若x1时，证明：f(x)ln x；(2)证明：1ln(n1)(n1)证明：(1)设g(x)f(x)ln xln x(x1)，则g(x)0(x1)，所以g(x)在1，)上单调递增，即当x1时，g(x)g(1)0，即f(x)ln x.(2)方法一由(1)有f(x)ln x(x1)，且当x1时，ln x.令x，有ln ，即ln(k1)ln k，k1，2，3，n.将上述n个不等式依次相加，得ln(n1)().整理得1ln(n1).方法二用数学归纳法证明当n1时，左边1，右边ln 21，不等式成立假设nk(k1，kn*)时，不等式成立，即1ln(k1).那么nk1时，1ln(k1)ln(k1).由(1)有f(x)ln x(x1)令x，得lnln(k2)ln(k1)ln(k1)ln(k2).1ln(k2).这就是说，当nk1时，不等式也成立根据，可知不等式对任何nn*都成立2函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点p(4，5)，qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxx13；(2)求数列xn的通项公式(1)证明：因为f(4)42835，故点p(4，5)在函数f(x)的图象上，故由所给出的两点p(4，5)，qn(xn，f(xn)可知，直线pqn斜率一定存在. 故有直线pqn的直线方程为y5(x4)令y0，可求得5(x4)x4x.所以xn1.下面用数学归纳法证明2xn3.当n1时，x12，满足2x13.假设nk(k1，kn*)时，2xk3成立，则当nk1时，xk14，由2xk34xk251243，即2xk13也成立综上可知，2xn3对任意正整数恒成立下面证明xnxn1：由xn1xnxn，由2xn300，即xnxn1.综合可知，2xnxn10，a为常数)，数列an满足：a1，an1f(an)，nn*.(1)当a1时，求数列an的通项公式；(2)在(1)的条件下，证明对nn*有：a1a2a3a2a3a4anan1an2.(1)解析：当a1时，an1f(an)，两边取倒数，得1，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以n1，an，nn*.(2)证明：方法一由(1)知an，故对k1，2，3，akak1ak2所以a1a2a3a2a3a4anan1an2.方法二当n1时，等式左边，等式右边，左边右边，等式成立；假设当nk(k1)时等式成立，即a1a2a3a2a3a4akak1ak2，则当nk1时，a1a2a3a2a3a4akak1ak2ak1ak2ak3.这就是说当nk1时，等式成立，综知对于nn*有：a1a2a3a2a3a4anan1an2.课时作业1(2013福建三明模拟)某个与正整数n有关的命题，如果当nk(nn*，k1)时，该命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，则(c)an4时该命题成立bn6时该命题成立cn4时该命题不成立 dn6时该命题不成立解析：因为“当nk(kn*，k1)时，该命题成立，则一定能推出当nk1时，该命题也成立”，故可得n5时该命题不成立，则一定有n4时，该命题也不成立故选c.2若f(n)1(nn*)，则f(1)为(c)a1 b15c1 d非以上答案解析：注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n1的自然数，故f(1)1.故选c.3(2013杭州