高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲 函数与方程.doc

第8讲函数与方程最新考纲1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解知 识 梳 理1函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()2(2014北京卷)已知函数f(x)log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()a(0,1)b(1,2)c(2,4)d(4，)解析由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数，又f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log2420，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点，故选c.答案c3(2014湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在r上连续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是()x10123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.892a.(1,0)b(0,1) c(1,2)d(2,3)解析记h(x)f(x)g(x)，依题意，注意到h(0)0，h(1)0，因此函数h(x)的零点属于(0,1)，即方程f(x)g(x)有实数解的区间是(0,1)，故选b.答案b4(人教a必修1p92a1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案a5(2014福建卷)函数f(x)的零点个数是_解析当x0时，由x220得x(正根舍去)；当x0时，f(x)2x6ln x在(0，)上为增函数，且f(2)ln 220，f(3)ln 30，所以f(x)在(0，)上有且只有一个零点，综上可知f(x)的零点个数为2.答案2考点一函数零点的判断与求解【例1】 (1)(2014唐山一模)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间()a(1,0)b(0,1) c(1,2)d(2,3)(2)(2014湖北卷)已知f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()a1,3b3，1,1,3c2，1,3d2，1,3解析(1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数f(x)在r上单调递增，对于a项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)f(0)0，a不正确；同理可验证b，d不正确，对于c项，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1,2)(2)当x0时，f(x)x23x，令g(x)x23xx30，得x13，x21.当x0时，x0，f(x)(x)23(x)，f(x)x23x，f(x)x23x.令g(x)x23xx30，得x32，x420(舍)，函数g(x)f(x)x3的零点的集合是2，1,3，故选d.答案(1)c(2)d规律方法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，函数f(x)的零点即方程f(x)g(x)的根【训练1】 (2015莱芜一模)已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()a.，0b2,0c.d0解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.答案d考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】 已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点法二作出g(x)x(x0)的大致图象如图1.图1可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即yg(x)与yf(x)的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g(x)x(x0)与f(x)x22exm1的大致图象如图2.图2f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，yg(x)与yf(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)规律方法函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用【训练2】 (1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()a(1,3)b(1,2) c(0,3)d(0,2)(2)(2014太原模拟)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()a(1,3)b(0,3) c(0,2)d(0,1)解析(1)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选d.答案(1)c(2)d考点三与二次函数有关的零点问题【例3】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解令f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a8920恒成立，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，)规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练3】 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1).思想方法1判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究g(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题易错防范1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014青岛统一检测)函数f(x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是()a0b1 c2d3解析因为函数y2x，yx3在r上均为增函数，故函数f(x)2xx32在r上为增函数，又f(0)0，f(2)0，故函数f(x)2xx32在区间(0,2)内只有一个零点，故选b.答案b2(2015西安五校联考)函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()a(0,1)b(1,2)c(2,3)d(3,4)解析函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标，即为函数f(x)ln(x1)的零点，f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)ln 210，f(2)ln 30，f(x)的零点所在区间为(1,2)答案b3(2015长沙模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()a(a，b)和(b，c)内b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内d(，a)和(c，)内解析依题意，注意到f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选a.答案a4(2014昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()a.b(，1)c.d(，1)解析当a0时，f(x)1与x轴无交点，不合题意，所以a0；函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内是单调函数，所以f(1)f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a1或a.答案b5已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()ax2x1x3bx1x2x3cx1x3x2dx3x2x1解析依据零点的意义，转化为函数yx分别和y2x，yln x，y1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x10x21x3.答案b二、填空题6(2015淄博期末)函数f(x)xln(x1)1的零点个数是_解析函数f(x)xln(x1)1的零点个数，即为函数yln(x1)与yx1图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与yx1的图象，如图，由图可知函数f(x)xln(x1)1的零点个数是2.答案27函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nn)内，则n_.解析求函数f(x)3x7ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.答案28已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)答案(0,1)三、解答题9若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围解法一(换元法)设t2x (t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.综上，a的取值范围是(，2210已知关于x的二次方程x22mx2m10有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(