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函数的奇偶性 y x2 x x 当x1 1 x2 1时 f 1 f 1 当x1 2 x2 2时 f 2 f 2 对任意x f x f x 当x1 1 x2 1时 f 1 f 1 对任意x f x f x x x 偶函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫奇函数 例1 判断下列函数的奇偶性 2 解 1 因为f x 2x f x 所以f x 是奇函数 2 因为f x 的定义域为 是偶函数 1 4 3 故f 2 不存在 所以就谈不上与f 2 相等了 由于任意性受破坏 所以它没有奇偶性 解 3 4 故函数没有奇偶性 首要条件 定义域是否关于原点对称 思考 在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数 有的是偶函数不是奇函数 也有既不是奇函数也不是偶函数的 那么有没有这样的函数 它既是奇函数又是偶函数呢 f x 0 是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢 例2 已知函数f x 既是奇函数又是偶函数 求证 f x 0 证明 因为f x 既是奇函数又是偶函数所以f x f x 且f x f x 所以f x f x 所以2f x 0即f x 0 这样的函数有有多少个呢 函数按是否有奇偶性可分为四类 1 奇函数 2 偶函数 3 既是奇函数又是偶函数 4 既不是奇函数又不是偶函数 例3 判断下列函数的奇偶性 1 解 当b 0时 f x 为奇函数 当b0时 f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2 解 当a 0时 f x 既是奇函数又是偶函数 当a0时 f x 是偶函数 例4 已知函数f x 为奇函数 定义域为r 且x 0时 f x 求函数f x 的解析式 小结 奇偶性的概念判断奇偶性时要注意的问题 作业 判断下列函数的奇偶性 1 f x 3x 3 f x 6x2 4 f x 6x3 1 5 f x 2x 2a 6 f x 0 2 x 2 3 具有奇偶性的函数图象的特征偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 1 定义式 2 等价形式 判断方法 4 性质法 偶与偶的和差积商仍为偶 奇与奇的和差为奇 积商为偶 奇与偶的积商为奇 1 非零常数函数 为偶函数 为既奇又偶函数 唯一型
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