高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题06 导数解答题（含解析）.doc

专题六 导数解答题导数与函数的单调性的综合题【背一背重点知识】1.利用导数求函数区间的步骤：一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性；2.利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化.如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正；3.利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如可转化为可转化为【讲一讲提高技能】1. 必备技能：会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确分类讨论；会根据函数单调性确定导数在对应区间上符号规律；会根据导数积与商运算法则规律构造函数.2. 典型例题：例1已知函数（1）当时，求的极值；（2）当时，求的单调区间；（3）方程的根的个数能否达到3，若能，请求出此时的范围，若不能，请说明理由【答案】（1）极小值，无极大值；（2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，的单调递减区间是，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；（3）不能，理由见解析【解析】试题解析：（1）其定义域为当时，令，解得，当时，；当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是所以时，有极小值为，无极大值例2已知.（）若，求在处的切线方程；（）确定函数的单调区间，并指出函数是否存在最大值或最小值【答案】（）；（）见解析【解析】（）=其中， 2分令，得1） 当，即时，小于0等于0大于0小于0递减极小值递增递减的增区间是 ，减区间是和，当时，取得极小值。又时，所以有最小值； 6分2） 当时，的减区间是和，无最大值和最小值。 7分 3）当时，的增区间是 ，减区间是和，当时，取得极大值。又时，所以有最大值。 9分【练一练提升能力】1.已知函数（）若,求在点处的切线方程；（）求的单调区间； （）求证：不等式对一切的恒成立【答案】（）；（）当时，在上单调递增 当时，当在单调递减，在单调递增；（）证明见解析【解析】试题解析：（）时，所以 又所以切线方程为 2. 已知函数的图象过点（0，3），且在和上为增函数，在上为减函数（1）求的解析式； （2）求在r上的极值【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：第（1）小题已知函数的单调性，求相关参数，的值只需抓住是的两个根，就行了；第（2）小题已知函数的单调性，求函数的极值，思路清晰简单明了导数与函数的极值、最值的综合题【背一背重点知识】1.运用导数求可导函数的极值的步骤：（1）先求函数的定义域，再求函数的导数；（2）求方程的根；（3）检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.2.求函数在区间上的最大值与最小值的步骤：（1）首先确定函数在区间内连续，在内可导；（2）求函数在内的极值；（3）求函数在区间端点的值；（4）将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3. 已知函数最值求参数，需正确等价转化.如函数最大值为2，则等价转化为：恒成立且有解.【讲一讲提高技能】1.必备技能：求函数最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点；而求函数极值时，必须考察导数为零的点的附件导数值是否变号，若不变号，则不为极值点；若变号，再根据变号规律，确定是极大值还是极小值.2.典型例题：例1已知函数（）求函数的极小值；（）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围【答案】（）当时函数有极小值；（）【解析】 令，则0-0+极小值所以 当时函数有极小值 6分（）函数当时， 所以要使与无交点，等价于恒成立 令，即，所以 当时，满足与无交点； 当时，而，所以，此时不满足与无交点 当时，令 ， 则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，由 得，即与无交点 综上所述 当时，与无交点. 例2已知函数.（）若是函数的极值点，求的值；（）求函数的单调区间.【答案】（）或.（）当时，单调递增区间是，单调递减区间是，当时，单调递增区间是，单调递减区间是.【解析】解得或.经检验，或时，是函数的极值点. 6分 【练一练提升能力】1.(12分) 已知函数,在时有极大值;（）求的值；（）求函数在上的最值.【答案】（）;（）最大值, 最小值【解析】试题分析：（）由题意可知且,从而可求得的值. （）求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,比较其极值与端点处函数值,其中最大的为最大值,最小的为最小值. 2.已知函数，（其中为常数）；（）如果函数和有相同的极值点，求的值；（）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由（）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围【答案】（）或（）（）【解析】解：（i），则，令，得或，而在处有极大值，或；综上：或 （3分）（ii）假设存在，即存在，使得，当时，又，故，则存在，使得， （4分） 当即时，得，； （5分） 当即时，得，（6分）无解；综上： （7分）因为（）（）要同时满足，故；（注：也对）（11分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；若存在使得，由，即，得，利用导数解决不等式等综合问题【背一背重点知识】1. 利用导数证明不等式的基本步骤：（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）对新函数求导；（4）根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值；（5）结论.2. 对恒成立等价于3. 对恒成立等价于【讲一讲提高技能】1必备技能：构造函数证明不等式的技巧：（1）对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构造函数，使原不等式成为形如的形式；（2）对形如,构造函数；（3）对于（或可化为）的不等式，可选(或)为主元，构造函数（或）.2典型例题：例1设函数（1）若与具有完全相同的单调区间，求的值；（2）若当时恒有求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，在内单调递减；当时，在内单调递增又由得此时，显然在内单调递减，在内单调递增，故例2已知函数的定义域为（）若，求实数的值；（）若的最小值为5，求实数的值；（）是否存在实数，使得恒成立？若存在求出的值，若不存在请说明理由【答案】（）（）（）满足要求的不存在【解析】（）（）当时，在上单调递减，不合要求；当时，在上单调递增，；【练一练提升能力】1.已知函数（1）讨论的单调性（2）证明：（，e为自然对数的底数）【答案】详见解析 2.已知,且直线与曲线相切.(1)若对内的一切实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;(2)当时,求最大的正整数,使得对(是自然对数的底数)内的任意个实数都有成立;(3)求证:.【答案】(1) ， (2) ， (3)详见解析【解析】解:(1)设点为直线与曲线的切点,则有 . (*) ,. (*) 由(*)、(*)两式,解得,. 由整理,得, ,要使不等式恒成立,必须恒成立. 设, , 当时,则是增函数, ,是增函数,. 因此,实数的取值范围是. 解答题（共10题）1. 已知函数.（）若函数的图象关于点对称，直接写出的值；（）求函数的单调递减区间；（）若在区间上恒成立，求的最大值.【答案】（）0;（）当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是.（）1【解析】（）因为 在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 所以 在区间上恒成立. 10分因为 ，所以 . 11分所以 . 13分所以 若在区间上恒成立，的最大值为1. 14分2. 已知函数，(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2) 若直线是函数图象的切线，求的最小值；(3)当时，若与的图象有两个交点，求证：（取为，取为，取为）【答案】（）（）（3）详见解析【解析】 ，即，再一次构造函数，易得其在上单调递增，而，因此，即（3）由题意知，两式相加得，两式相减得，即，即， 分 3. 已知函数（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（3）当时，关于的方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，根据题意解关于a的等式，即可得到实数a的值；（2）由题意，不等式在（0，+）内恒成立，等价转化为在（0，+）内恒成立，求出右边的最小值为-1，即可得到实数a的取值范围；（3）原方程化简为，设，利用导数研究g（x）的单调性得到原方程在1，4上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围试题解析：（1）由可得； 4. 已知为实数，函数，函数 （1）当时，令，求函数的极值； （2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）【解析】列表：x0 + 极小值 所以的极小值为，无极大值 4分（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立 5分1）当时， 可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；（*）则，令，则时，因为， 故，所以函数在时单调递减，即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）成立，满足题意； 7分当时，因为，所以，记，则当时，故，所以函数在时单调递增，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立； 所以当，恒成立时，； 9分）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立； 13分）若，则，所以当时，故函数在上单调递减，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当，恒成立时，； 15分综上所述，当，恒成立时， ，从而实数的取值集合为 16分5. 已知函数在处取得极值（1）求的值；（2）求函数在上的最小值；（3）求证：对任意、，都有【答案】(1)a=1；（2）；(3)见解析【解析】综上，f(x)在上的最小值 8分(3)由(1)知, .令，得x=1，因为， 所以，时，. 10分所以,对任意,都有. 12分6. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。【解析】 当时，即在上单调递减，要使不等式对任意恒成立，即，.又，. 11分 当时，由，得. 当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，要使不等式对任意恒成立，即.又，且，即， 所以时符合条件. 13分 综上所述，满足条件的的取值范围是. 14分7. 设函数，其中.（1）若，求在1,4上的最值；（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）求证：不等式恒成立.【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）；（3）详见解析.【解析】（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，即在有两个不等根.即在有两不等实根.令，则.（3）设，求导得，.所以在上单调递增，所以即成立，令即得.8.已知函数,(1)求函数的极大值和极小值;(2)已知,求函数的最大值和最小值.(3)若函数的图象与轴有且只有一个交点,求的取值范围.【解析】9.，为正实数（1）当，求极值点；（2）若为r上的单调函数，求的范围【答案】（1）是极小值点，是极大值点；（2）【解析】试题解析：（1），当，若，则，解得，列表可知极大值极小值是极小值点，是极大值点；（2）若为上的单调函数，则在上不变号，又，在上恒成立，10. 已知函