高考数学复习 专题14 计数原理与概率统计 离散型随机变量的均值与方差备考策略.doc

离散型随机变量的均值与方差备考策略主标题：离散型随机变量的均值与方差备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：离散型随机变量，均值，方差，备考策略难度：3重要程度：4考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量x为取出此2球所得分数之和，求x的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量y为取出此球所得分数若e(y)，d(y)，求abc.思路解析(1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量x的取值，计算相应的概率，再列出分布列(2)用a，b，c表示出y取值的概率，列出随机变量y的分布列，求出均值和方差，转化为关于a，b，c的方程求解解(1)由题意得x2,3,4,5,6.故p(x2)，p(x3)，p(x4)，p(x5)，p(x6).所以x的分布列为x23456p(2)由题意知y的分布列为y123p所以e(y)，d(y)222.化简得解得故abc321.【备考策略】 求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：阅读理解关；概率计算关；公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆考点二与二项分布有关的均值、方差【例2】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？思路点拨(1)易知x0,2,3,5，则“x3”与“x5”为对立事件，根据相互独立事件与对立事件公式计算(2)每种方案的得分与中奖次数有关，且中奖次数服从二项分布，运用均值的性质求解解(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分x3”的事件为a，则事件a的对立事件为“x5”，因为p(x5)，所以p(a)1p(x5)，即这2人的累计得分x3的概率为.(2)法一设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为x1，都选择方案乙抽奖中奖次数为x2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为e(2x1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为e(3x2)由已知可得，x1b，x2b，所以e(x1)2，e(x2)2，因此e(2x1)2e(x1)，e(3x2)3e(x2).因为e(2x1)e(3x2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为y1，都选择方案乙所获得的累计得分为y2，则y1，y2的分布列为：y1024py2036pe(y1)024，e(y2)036，因为e(y1)e(y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大【备考策略】求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解(2)若随机变量xb(n，p)，则可直接使用公式e(x)np，d(x)np(1p)求解考点三均值与方差在决策中的应用【例3】 某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润本金)可以翻一番？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解(1)若按“项目一”投资，设获利为x1万元则x1的分布列为x1300150pe(x1)300(150)200(万元)若按“项目二”投资，设获利x2万元，则x2的分布列为：x25003000pe(x2)500(300)0200(万元)d(x1)(300200)2(150200)235 000，d(x2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.所以e(x1)e(x2)，d(x1)d(x2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资(2)假设n年后总资产可以翻一番，依题意，1 000n2 000，即1.2n2，两边取对数得：n3.805 3.所以大约4年后，即在2018年年底总资产可以翻一番【备考策略】 (1)解决此类题目的关键是正确理解