高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题05 平面向量（含解析）.doc

第五章 平面向量平面向量的线性运算和坐标运算【背一背重点知识】 1. 向量加法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量.2. 向量的减法：用“三角形法则”，要注意：减向量与被减向量的起点相同.3. 向量平移具有坐标不变性，相等向量的坐标是一样的.4. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等.5. 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.6. 平行向量无“传递性”（因为有).7. 三点a、b、c共线 共线.8. 当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：(1)零向量的方向及与其他向量的关系；(2)单位向量的长度及方向9.已知，判断两向量平行和垂直的充要条件容易混淆.应为 ， ，使用时要注意区分清楚【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意不要把向量与实数盲目类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时要学会灵活选用，解题时应善于将向量用一组基底（不共线向量）来表示，要会应用向量共线、垂直的充要条件来解题.（2）平面向量基本定理是向量坐标形式表示的理论基础，平面向量的坐标运算是高考的重点，通常考查两个向量平行、垂直的位置关系；另外平面向量的坐标运算，在解析几何、三角函数中出现较多.（3）在中，当为中点时，应作为公式记住（4） 在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可其运算方法类似于合并同类项，在计算时可进行类比2.典型例题：例1设是所在平面内一点，则a b c d【答案】c【解析】试题分析：因为是所在平面内一点， ，所以p是ac的中点，则.例2下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ）（a） （b）（c） （d）【答案】b【解析】例3在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（1） 若，求；（2）用表示，并求的最大值.分析：（1）由，且，即可求出点的坐标，继而求出的值；（2）因为，所以，即，两式相减得：令，点在三边围成的区域（含边界）上，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.【解析】： 【练一练提升能力】1.向量在正方形网格中的位置如图所示，若 ()，则=.【答案】4【解析】 以向量的交点为原点，建立直角坐标系，则，由，得，即解得，.2.已知点,则与向量同方向的单位向量为 ( )abcd【答案】a 3. 在平行四边形中，为一条对角线，则（ ）a（2,4） b（3,5） c（1，1） d（1，1）【答案】c【解析】试题分析：平面向量的数量积【背一背重点知识】1. 数量积是一个实数，不再是一个向量.2.向量数量积与实数相关概念的区别：(1)表示方法的区别:数量积的记号是，不能写成，也不能写成.(2)相关概念及运算的区别：若为实数，且，则有或，但却不能得出或.若，则(结合律)成立，但对于向量，向量的数量积是不满足结合律若，则，但对于向量，却有，等号当且仅当时成立3.设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；4.数量积的运算要注意：（1）时，但时不能得得到或，因为时，也有.（2）若，则；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量满足 ()，则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量（3）平面向量的数量积有定义式和坐标运算，应注意灵活选择计算方法.【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即.（3）已知非零向量则有，是非常重要的性质，它是解决平面几何中有关垂直问题的有力工具，应熟练掌握2.典型例题：例1如图在平行四边形中，已知，则的值是 .adcbp分析：利用平面向量的线性运算法则，及，建立的方程，进一步求解.解析：由题意，所以，即，解得例2在边长为的等边中，分别在边bc与ac上，且，则（ ）a b c d【答案】a【解析】例3已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为_.分析：注意到题目中给出了向量与的夹角为，且，所以应注意应用平面向量数量积的定义式，并应用向量垂直的充要条件. 把转化为的形式，为应用及提供了熟悉的解题途径.解析：由得所以【练一练提升能力】1.已知向量则 a2或3 b1或6 c6 d2【答案】d【解析】试题分析：由得2. 设向量满足，则（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 5【答案】a【解析】试题分析：由已知得，两式相减得，故平面向量的长度与角度问题【背一背重点知识】1.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围是2.的几何意义：等于的长度|与在的方向上的投影|cos的乘积. 在方向上的投影是一个数量|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0.3.在中，与的夹角不是而是其补角【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）利用数量积求解长度与角度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：设，基本公式为： |，cos.另外=，是实现向量运算与实数运算相互转化的有力工具.（2）已知与为不共线向量，且与的夹角为，则 ； ； .特别的：在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线2.典型例题：例1若平面向量，满足，则与的夹角是 （ ）a b c d【答案】d【解析】例2平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .分析：利用公式，将与、 与的夹角余弦用表示出来，建立方程即得.解析：由题意得：【练一练提升能力】1.已知非零向量满足，且，则与的夹角是（ ）a、 b、 c、 d、【答案】c【解析】试题分析：因为，所以，所以，又，所以，故选c.2. 已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（ ）（a） （b） （c）0 （d）【答案】【解析】因为所以解得，故选.（一） 选择题（12*5=60分）1.已知点为所在平面内一点，边的中点为，若，其中，则点一定在（ ）a边所在的直线上 b边所在的直线上c边所在的直线上 d的内部 【答案】c【解析】 2.已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）ab cd【答案】a【解析】需满足：且不共线.由；当共线时得，因此.3.已知向量，则与夹角的余弦值为( )a b c d【答案】b【解析】由，解得，所以，所以.4.已知平面向量，且，则实数的值等于（ ）a2或 c2或 b d【答案】b【解析】试题分析：因为，则，解得或，故选b5.设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是（ ） a b c d【答案】a 6.已知向量，则（ ）a b c d【答案】a【解析】试题分析：设因为，所以由向量的加法及数乘运算的坐标表示可得，解得故选a7.设,且,则锐角为a b c d 【答案】c.【解析】因为 .所以.即.又因为为锐角.所以.所以.本题主要考察向量的平行知识，通过向量平行的坐标公式来求解.本提较基础.8.函数的部分图象如图所示，则（ ）a b6 c d4【答案】b【解析】 9.正三角形内一点满足，则的值为（ ）a b c d【答案】d【解析】10.若o为abc所在平面内任一点，且满足，则abc的形状为（ ）a正三角形b直角三角形c等腰三角形d等腰直角三角形【答案】c【解析】因为，即，所以是等腰三角形，选c.11.已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（ ）a b c d【答案】b【解析】试题分析：为三角形的重心，由得，所以的面积为12.在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是