高三数学高考（理）二轮复习专题学案专题三 三角函数及三角变换、平面向量及解三角形人教大纲版学案11 三角变换与解三角形.ppt

1 同角三角函数的基本关系式 正弦 余弦 正切 余切的诱导公式 2 两角和与差的三角函数 二倍角的三角函数 半角的三角函数公式 3 通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化简 求值与证明 4 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 5 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 学案11三角变换与解三角形 1 2009 江西 若函数则f x 的最大值为 a 1b 2c d 解析当x 时 函数取得最大值为2 b 2 2009 广东 已知 abc中 a b c的对边分别为a b c 若a c 且 a 75 则b等于 a 2b c d 解析因sina sin75 sin 30 45 sin30 cos45 sin45 cos30 由a c 可知 c 75 所以 b 30 sinb 由正弦定理得 a 3 2009 全国 已知 abc中 tana 则cosa等于 a b c d 解析 d 4 2009 全国 若则函数y tan2xtan3x的最大值为 解析 8 题型一已知三角函数求值 例1 2009 广东 已知向量a 2 与b 1 互相垂直 其中 1 求的值 解 1 a与b互相垂直 a b 探究拓展 在解有关根据条件求三角函数值问题时 首先根据条件限定某些角的取值范围 由范围进而确定出三角函数值的符号 还应注意公式的正用与逆用及变形应用 根据条件还要注意适当拆分角 拼角等技巧的应用 变式训练1已知 1 求sinx的值 解 题型二三角函数与解三角形 例2 2009 四川 在 abc中 a b为锐角 角a b c所对应的边分别为a b c 且cos2a sinb 1 求a b的值 2 若a b 求a b c的值 解 1 a b为锐角 sinb cosb 又cos2a 1 2sin2a cos a b cosacosb sinasinb 探究拓展 本小题主要考查同角三角函数间的关系 两角和差的三角函数 二倍角公式 正弦定理等基础知识及基本运算能力 在求解三角形的面积时 应注意面积的表达式有几种不同表达方式 应灵活选择 变式训练2在 abc中 sin c a 1 sinb 1 求sina的值 2 设ac 求 abc的面积 解 2 如图所示 由正弦定理得又sinc sin a b sinacosb cosasinb 题型三向量与解三角形 例3 2009 湖南 在 abc 已知求角a b c的大小 解设bc a ac b ab c 探究拓展 解答这一类问题 首先要保证向量运算必须正确 否则 反被其累 要很好的掌握正 余弦定理的应用的条件及灵活变形 方能使问题简捷解答 变式训练3 2009 江西 在 abc中 a b c所对的边分别为a b c 1 求c 2 若求a b c 解 题型四解三角形与实际问题 例4 2009 海南 如图 为了解某海域海底构造 对海平面内一条直线上的a b c三点进行测量 已知ab 50m bc 120m 于a处测得水深ad 80m 于b处测得水深be 200m 于c处测得水深cf 110m 求 def的余弦值 解作dm ac交be于n 交cf于m 在 def中 由余弦定理得 探究拓展 对几何中的计算问题 往往通过正 余弦定理把几何问题转化成三角函数问题 再通过解三角函数达到求解三角形问题的目的 变式训练4如图所示 扇形aob 圆心角 aob 60 半径oa 2 在弧ab上有一点p 过点p做平行于ob的直线交oa于点c 设 aop 求 cop面积的最大值及此时的值 解因为 aob 60 且cp ob 所以 ocp 120 则在 ocp中 op2 oc2 cp2 2 oc cp cos120 oc2 cp2 oc cp 又因oc2 cp2 2oc cp 所以op2 3oc cp 又op oa 2 即oc cp 所以s cop oc cp sin120 oc cp 即 s cop max 此时oc cp 又 ocp 120 所以 aop 30 考题再现 2009 山东 设函数f x cos 2x sin2x 1 求函数f x 的最大值和最小正周期 2 设a b c为 abc的三个内角 若且c为锐角 求sina 解题示范 f x 取得最大值 f x 最大值 f x 的最小正周期故函数f x 的最大值为最小正周期为 6分 因此sina sin b c sin b c sinbcosc cosbsinc 1 解三角形常见类型及解法 1 已知一边和两角 用正弦定理求解 在有解时只有一解 2 已知两边和夹角 用余弦定理或正弦定理求解 在有解时只有一解 3 已知三边 用余弦定理求解 在有解时只有一解 4 已知两边和其中一边的对角 用余弦定理或正弦定理求解 可有两解 一解或无解 2 应用正 余弦定理解斜三角形应用问题的方法步骤 1 分析 理解题意 分清已知与待求 并画出示意简图 2 建模 根据条件与所求的目标 把已知量与待求量尽量集中在有关三角形中 建立解斜三角形的 数学模型 3 求解 利用余弦定理或正弦定理有序的解三角形 求得数学模型的解 4 检验 检验上述所求解是否有实际意义 进而得出实际问题的解 3 在 abc中常用关系 1 a b c a b c sina sinb sinc 2 a b c成等差数列 b 60 3 2b a c或b2 a c 0 b 60 一 选择题1 函数f x sin2x sinxcosx在区间上的最大值是 a 1b c d 解析 c 2 2009 辽宁 已知等于 a b c d 解析 d 3 已知锐角三角形的边长分别是2 3 x 则x的取值范围是 a 1 x 5b c d 解析 若3是最大边 则32 x2 22 即 x 3 若x是最大边 则x2 32 22 即3 x 由上可知 b 4 已知a b c是 abc的三条对应边 若满足 a b c a b c 3ab 且sina 2sinbcosc 那么 abc是 a 直角三角形b 等腰直角三角形c 等腰三角形d 等边三角形解析因为 a b c a b c a2 b2 c2 2ab 3ab 则所以 c 60 又sina 2sinbcosc 则sina sinb 即 a b abc为等边三角形 d 5 在 abc中 若 sina sinb sinb sinc sinc sina 4 5 6 则 c的值为 a b c d 解析由题意可知 a b b c c a 4 5 6 则a b c 5 3 7 令a 5k b 3k c 7k k 0 c 6 在 abc中 若有一个内角不小于120 则最长边与最短边之比的最小值是 a b c 2d 解析设 c 120 则c为最大边 设a为最小边 则a b 所以a b 180 c a 0 b 二 填空题7 2009 湖南 在锐角 abc中 bc 1 b 2a 则的值等于 ac的取值范围为 解析由正弦定理 答案28 在 abc中 c 60 a b c分别为a b c的对边 则 解析由余弦定理可知 a2 b2 c2 ab 1 9 如果函数f x 在区间d上是凸函数 则对于区间d上任意的x1 x2 xn 都有 现已知y sinx在 0 上是凸函数 则在 abc中 sina sinb sinc的最大值是 解析由题意可知 所以sina sinb sinc的最大值是 10 在 abc中 ac 2bc 若ab 3 则 abc的最大面积为 解析如图 作cd ab或其延长线于d 设bc m cd h bd t 则4m2 3 t 2 m2 t2 h2 m2 2t 3 当且仅当t 1时 s abc max 3 3 三 解答题11 2009 全国 设 abc的内角a b c的对边长分别为a b c cos a c cosb b2 ac 求b 解由cos a c cosb 得cos a c cos a c cosacosc sinasinc cosacosc sinasinc sinasinc 又由b2 ac及正弦定理得sin2b sinasinc 故sin2b sinb 或sinb 舍去 于是b 或b 又由b2 ac知b a或b c 所以b 12 2009 江西 在 abc中