高三数学《导数》全章课件：函数的单调性.ppt

函数的单调性 函数y f x 在给定区间g上 当x1 x2 g且x1 x2时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在g上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在g上是减函数 若f x 在g上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在g上具有严格的单调性 g称为单调区间 g a b 一 复习与引入 二 新课 我们已经知道 曲线y f x 的切线的斜率就是函数y f x 的导数 从函数y x2 4x 3的图像可以看到 在区间 2 内 切线的斜率为正 函数y f x 的值随着x的增大而增大 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为增函数 在区间 2 内 切线的斜率为负 函数y f x 的值随着x的增大而减小 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为减函数 f x 0 f x 0 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 由上我们可得以下的结论 如果在某个区间内恒有 则为常数 例1 确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 由2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是减函数 例2 讨论f x x3 6x2 9x 3的单调性 解 f x 3x2 12x 9 令3x2 12x 9 0 解得x 3或x 1 因此 当或时 f x 是增函数 令3x2 12x 9 0 解得1 x 3 因此 当时 f x 是减函数 故f x 在 1 和 3 内是增函数 在 1 3 内是减函数 而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的 利用导数讨论函数单调的步骤 1 求导数 2 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x 的单调递减区间 练习1 求函数y 2x3 3x2 12x 1的单调区间 答案 递增区间是和 递减区间是 2 1 三 综合应用 例1 确定下列函数的单调区间 1 f x x 2 sinx 解 1 函数的定义域是r 令 解得 令 解得 因此 f x 的递增区间是 递减区间是 解 函数的定义域是 1 2 f x x 2 ln 1 x 1 由即得x1 注意到函数的定义域是 1 故f x 的递增区间是 1 由解得 1 x 1 故f x 的递减区间是 1 1 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的交集 一 复习 上节课 我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题 其基本的步骤为 求函数的定义域 求函数的导数 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x 的单调递减区间 例3若函数在r上单调递增 求a的取值范围 变式 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 故a 0 其单调区间是 单调递增区间 单调递减区间 和 例 若函数在区间 内为减函数 在区间上为增函数 试求实数a的取值范围 例