高中数学 1.1.1任意角学案 新人教A版必修4.doc

1 20162016 高中数学高中数学 1 1 11 1 1 任意角学案任意角学案 新人教新人教 a a 版必修版必修 4 4 学习要求学习要求 1 理解正角 负角 零角与象限角的概念 2 掌握终边相同角的表示方法 学法指导学法指导 1 解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个 要素 顶点 始边 终边和旋转方 向 2 确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量 3 学习象限角时 注意角在直角坐标系中的放法 在这个统一前提下 才能对终边落在坐标 轴上的角 象限角进行定义 1 角的概念 1 角的概念 角可以看成平面内 绕着 从一个位置 到另一个位置所成 的图形 2 角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类 类型定义图示 正角 按 形成的角 负角 按 形成的角 零角 一条射线 称它形成了一个零角 2 象限角 角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边 除端 点外 在第几象限 就说这个角是 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 3 终边相同的角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与 的和 探究点一探究点一 角的概念的推广 我们在初中已经学习过角的概念 角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形 这 种定义限制了角的范围 也不能表示具有相反意义的旋转量 因此 从 旋转 的角度 对 角作重新定义如下 一条射线oa绕着端点o旋转到ob的位置所形成的图形叫作角 射线oa 叫角的始边 ob叫角的终边 o叫角的顶点 2 问题问题 1 1 正角 负角 零角是怎样规定的 答答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条 射线没有作任何旋转 我们称它形成了一个零角 问题问题 2 2 根据角的定义 图中角 120 问题问题 3 3 经过 10 小时 分别写出时针和分针各自旋转所形成 的角 答 经过 10 小时 时针旋转形成的角是 300 分针旋转形成的角是 3 600 问题问题 4 4 如果你的手表快了 1 25 小时 只需将分针旋转多少度就可以将它校准 答 将分针旋转 450 或 3 870 即可校准 探究点二 终边相同的角 今后我们常在直角坐标系内讨论角 为了讨论问题的方便 我们使角的顶点与原点重合 角 的始边与 x 轴的非负半轴重合 角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 如 果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 按照上述方法 在平面直角坐 标系中 角的终边绕原点旋转 360 后回到原来的位置 终边相同的角相差 360 的整数 倍 因此 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 的集合 s k 360 k z 根据终边相同的角的概念 回答下列问题 问题问题 1 1 已知集合s k 360 60 k z 则 240 s 300 s 1 020 s 用符号 或 填空 问题问题 2 2 集合s k 360 30 k z 表示与角 终边 相同的角 其中最小的正角是 问题问题 3 3 已知集合s 45 k 180 k z 则角 的终 边落在 上 探究点三探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角 问题问题 1 1 终边落在坐标轴上的角经常用到 下表是终边落在 x 轴 y 轴各半轴上的角 请完成 下表 终边所在的位置角的集合 x 轴正半轴 x 轴负半轴 3 y 轴正半轴 y 轴负半轴 问题问题 2 2 下表是终边落在各个象限的角的集合 请补充完整 终边所在的象 限 角 的集合 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 问题问题 3 3 写出终边落在 x 轴上的角的集合 s 答 s k 360 k z k 360 180 k z 2k 180 k z 2k 1 180 k z n 180 n z 问题问题 4 4 写出终边落在 y 轴上的角的集合 t 答 t 90 2k 180 k z 90 180 2k 180 k z 90 2k 180 k z 90 2k 1 180 k z 90 n 180 n z 典型例题典型例题 例例 1 1 在 0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判定它们是第几象限角 1 150 2 650 3 950 15 解解 1 因为 150 360 210 所以在 0 360 范围内 与 150 角终边相同的 角是 210 角 它是第三象限角 2 因为 650 360 290 所以在 0 360 范围内 与 650 角终边相同的角是 290 角 它是第四象限角 3 因为 950 15 3 360 129 45 所以在 0 360 范围内 与 950 15 角终边相同的角是 129 45 角 它是第二象限角 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系 k 360 k z 把所给的角化归 到 0 360 范围内 然后利用 0 360 范围内的角分析该角是第几象限角 跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内 1 1 400 2 2 010 解 1 1 400 3 360 320 320 是第四象限角 1 400 也是第四象限角 例 2 写出终边落在直线 y x 上的角的集合 s 并把 s 中适合不等式 360 720 的元 素 写出来 4 解 直线y x与x轴的夹角是 45 在 0 360 范围内 终边在直线y x上的角有两个 45 225 因此 终边在直线y x上的角的集合 s 45 k 360 k z z 225 k 360 k z z 45 2k 180 k z z 45 2k 1 180 k z z 45 k 180 k z z s中适合 360 720 的元素是 45 0 180 45 45 1 180 225 小结小结 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时 能合并的尽量合并 注意 把最后角 的集合化成简约的形式 跟踪训练跟踪训练 2 2 求终边在直线y x上的角的集合s 解 由于直线y x是第二 四象限的角平分线 在 0 360 间所对应的两个角分别是 135 和 315 从而s k 360 135 k z z k 360 315 k z z 2k 180 135 k z z 2k 1 180 135 k z z k 180 135 k z z 例例 3 3 已知 是第二象限角 试确定 2 的终边所在的位置 2 解 因为 是第二象限角 所以k 360 90 k 360 180 k z z 所以 2k 360 180 2 2k 360 360 k z z 所以2 的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上 因为k 360 90 k 360 180 k z z 所以k 180 45 k 180 90 k z z 2 所以当k 2n n z z 时 n 360 45 n 360 90 2 即的终边在第一象限 2 当 k 2n 1 n z 时 n 360 225 n 360 270 2 即的终边在第三象限 2 所以的终边在第一或第三象限 2 小结 若已知角 是第几象限角 判断 等是第几象限角 主要方法是解不等式并对k 2 3 进行分类讨论 考查角的终边的位置 跟踪训练跟踪训练 3 3 已知 为第三象限角 则所在的象限是 2 5 a 第一或第二象限 b 第二或第三象限 c 第一或第三象限 d 第二或第四象限 解析 由于k 360 180 k 360 270 k z z 得 360 90 360 135 k z z k 2 2 k 2 当k为偶数时 为第二象限角 当k为奇数时 为第四象限角 2 2 课后小练课后小练 1 361 的终边落在 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 2 下列各角中与 330 角终边相同的角是 a 510 b 150 c 150 d 390 3 经过 10 分钟 分针转了 度 4 写出终边落在坐标轴上的角的集合s 课后小结课后小结 1 对角的理解 初中阶段是以 静止 的眼光看 高中阶段应用 运动 的观点下 定义 理解这一概念时 要注意 旋转方向 决定角的 正负 旋转幅度 决定角 的 绝对值大小 2 关于终边相同角的认识 一般地