初中数学学科基础 重点 总结.doc

第一章 数与代数 数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。第一次扩充：分数的引进；第二次扩充： 0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：原数集是扩充后新数集的真子集；原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充。另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前所建立的数系是同构的。 自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论基数理论 当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。 19 世纪中叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。等价集合的共同特征称为基数。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。自然数就有有限集合 A的基数叫做自然数。记作“ ”。 当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。空集的基数就是0。而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为 N 。序数理论 皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。 是根据一个集合里某些元素之间有“后继”这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按 1、 2、 这样一种基本关系而完全确定下来。 定义 非空集合 N*中的元素叫做自然数 ,如果 N*的元素之间有一个基本关系“后继” (b后继于 a,记为 b=a )，并满足下列公理： （ 1） 0 N*； （ 2） 0不是 N*中任何元素的后继元素； （ 3）对 N*中任何元素 a，有唯一的 a N； （ 4）对 N*中任何元素 a，如果 a 0，那么， a必后继于 N*中某一元素 b； （ 5）（归纳公理）如果 MN*，而且满足条件 : 0 M；若 a M，则 a M.那么， M= N*. 这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。自然数 0是作为空集的标记。在空集中，“ 0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。自然数系所蕴含的思想对应思想（可数的集合）自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。（导致了俗称“理发师悖论”的 罗素悖论 的发现）德国策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国弗芝克尔改进形成了一个无矛盾的集合论公理系统（ ZF公理系统）。 数位思想 位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。 用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值。十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。负数的数学含义 至少包括如下几个方面： +a 与 -a表示一对相反意义的量 。引入负数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。 有理数有一种简单的几何解释在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为 0和 1。正整数在 0的右边，负整数在 0的左边。对于分母 q的有理数，就可以用把单位区间 q等分的那些分点表示。每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。无理数的引入 正方形的边长和对角线不可公度。实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要，实现了实数系关于加减运算的封闭性。 戴德金阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指 ,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。字母代表数 代数，原意就是指“文字代表数”的学问。使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解。 根本的内涵是“未知数的符号 x可以和数一样进行四则运算。 文字代表数的真正价值在于：字母能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、 积分运算等等。 解析式 数字、字母、运算符号按照一定规律有意义地结合而成的符号组合。解析式中的字母可以有不同的含义不同的含义不影响它基本运算规律和变形规则。 解析式可以区分为两大类：一类是只含有代数运算的解析式叫代数式， 没有开方运算的代数式称为有理式，否则称为无理式；没有除法运算的有理式称为整式，否则称为分式；没有加、减运算的整式称为单项式，否则称为多项式。另一类是包含初等超越运算的解析式统称为初等超越式，简称超越式。它包括指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式。解析式的恒等变形 把一个给定的解析式变换为另一个与它恒等的解析式，叫做解析式的恒等变形。恒等是相对的。式的恒等变形也是可以连写的，因为它们对一切数，代入式都相等。但是， 解方程时的同解变形，不是恒等变形，。 代数式 数学的符号语言代数式是在数系基础上发展起来的。在初等代数中，所涉及的运算可分为两大类： 1 代数运算2 初等超越运算：指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算。 定义，在一个解析式中，如果对字母只进行有限次代数运算，那么这个解析式就称为代数式；如果对字母进行了有限次的初等超越运算，那么这个解析式就称为初等超越式，简称超越式。 还可以进一步分类： 只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式；其余的代数式称为无理式；在有理式中，只含有加、减、乘运算称为整式（或多项式），其余的有理式称为分式。 “数”发展到“式”的意义 导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，成为近代数学的显著特征。 数学符号具有重要的属性一是它的抽象性。符号代表了事物本质的特征，从而具有代表性和一般性。另一个重要的属性在于它的形象性。数学符号不但精确地表示数学抽象，而且是抽象内涵的简约形象。等式和方程 （一）方程的含义 “含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。” 把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数。方程的概念一般用于两个领域：“求某个未知数的数”和“曲线与方程”在这两个领域中“方程”的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。 方程的分类 依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。 方程按照它所含有的未知数的个数来分类：一元方程、二元方程、多元方程等。 方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。关于方程建模大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。必须学会抽象将关系抽象为数学符号。 方程设计思想的思路先进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题。 初中数学方程的常见解法：换元法、因式分解法、图像法、求根公式法。 等式与方程的关系建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。 方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。 不等式 学习的意义不等式可以表示一种界限，本身就是一种规律。其次，研究不等式可以导致等式。最后，不等式在几何上可以表示一个区域。 不等关系与相等关系既是矛盾独立的，也是相互统一的。 不等关系往往可以等价地转化为相等关系加以解决。不等式的含义两个实数或代数式用符号 连接起来的所得到的式子叫做不等式。如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式，如果只用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式。 如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式 。 当不等号两边的解析式都是代数式时，称为代数不等式；两边的解析式至少有一个是超越式时，称为超越不等式。不等式解集表示方法不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的过程叫解不等式。不等式组中每一个不等式解集的交集叫做不等式组的解集。 一个不等式的解集表示方法1 数轴表示法 即在数轴上把不等式的解集表示出来。2 集合表示法 即用集合来表示不等式的解集。3 区间表示法 即用区间来表示不等式的解集。两个不等式的解集相同，则称这两个不等式是同解的。不等式有三个基本性质：1不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，2不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变3不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0的整式，不等号方向改变 。不等式的实际应用在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量 x、 y之间的关系，那么 .方程模型刻画的是 x、 y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中 x、 y之间的大小关系，是更普遍存在的状态 。不等式尤其在解决“最值”问题上具有广泛的应用。不等式蕴含的思想 （一）模型思想 与相等现象相比，不等现象是现实世界中更为普遍的现象，不等式是刻画不等现象的有力模型。通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。 （二）辩证思想 通过 c =a-b的媒介作用，不等式 ab与等式 a=b+c建立了一种“等价”关系。这是一种辩证关系。恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题。 （三）数形结合思想 根据题意可列出不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，可以直观形象地解决问题。这种思想正是数形结合思想。 函 数 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。1755年，欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数。”由此演变为目前的函数的“变量说”黎曼在 1851定义：“我们假定 z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量 W的每一个值与之对应，则称 W是 Z的函数。”。 1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数： 1）对 中每一个元素 ，存在 ，使 ；（ 2）若 且 ，则 。函数 记作： ”分别称以上函数定义为变量说、对应说和关系说。 函数概念的核心思想 数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。 函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法。 解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的。列表法适用于表达变量取值是离散的情况。利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法表达函数可因题而议。 中学数学研究的函数性质数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。中学阶段主要研究函数的周期性，也涉及奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。 （一）函数的周期性 周期性反映了函数变化周而复始的规律。是中学阶段学习函数的一个基本的性质。周期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况。 （二）函数的奇偶性 函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。 奇偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。（三）函数的单调性 单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质。从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。 函数与其它内容的联系（一）函数与方程 用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与 x轴交点的横坐标，即零点的横坐标。方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与 x轴的交点问题。 （二）函数与数列 数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。数列通常称为离散函数。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。 （三）函数与不等式 我们首先确定函数图像与 x轴的交点（方程 f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。 （四）函数与线性规划 是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，接着，需要确定目标函数的可行域。最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题。 解线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数； 第二步，确定目标函数的可行域； 第三步，确定目标函数在可行域内的最值。 函数模型 函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义。 现实生活中，普遍存在着最优化问题 -最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决。 在运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案。在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性。 通过实例，让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会用数学的知识、思想方法、数学模型解决实际问题，提高运用数学的能力要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践 第二章 图形与几何四个基本阶段。 实验几何的形成和发展 人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。理论几何的形成和发展 柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，欧几里德按照严密的逻辑系统编写的几何原本奠定了理论几何的基础。 解析几何的产生与发展 笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示，并且形成了一系列全新的理论与方法，解析几何就这样产生了。 现代几何的产生与发展 人们不断发现几何原本在逻辑上不够严密之处，在尝试用其他公理、公设证明第五公设“的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。 初中数学课程中的几何学内容 （一）直观几何 几何学是其中研究“形”的分支。几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段，主要依靠形象思维。 “形象思维”也就是强调几何直观。 （二）演绎几何几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，因此，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。 以一些原始概念和公理为出发点，逐步对一些几何概念做比较逻辑化的描述，进行一些基本推理和论证。虽然也借助直观和少量代数公理，但是，主要立足逻辑进行几何概念及其性质的分析研究，这就是演绎几何。 （三）度量几何对一些图形进行度量，包括长度，面积，体积，角度等，适当的延伸。（四）变换几何也叫运动几何。这个领域主要讨论平移、旋转、反射等刚体运动，以及相似变换、拓扑变换，并借以研究图形的全等、对称等概念，了解变换之下的不变量。 （五）坐标几何即解析几何。在解析几何中，首先是建立坐标系。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。 经验几何 所谓经验几何，通常是直观几何、实验几何的通称，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。 经验几何的作用几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科 ,而后发展成为研究一般空间结构、图形关系的学科。 （一）经验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用，而论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用。 （二）经验几何是学习推理论证几何的必要前提。学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。 另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。（三）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法 。 总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用；同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、 几何直观 几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求 ,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。几何直观及其作用数学课程标准（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观对于学生的数学发展非常重要：首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础 , 有助于学生对数学的理解。借助于几何直观、几何解释， 能启迪思路 , 可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具， 有助于形成科学正确的世界观和方法论。 借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质 。 直观几何主要包含哪些内容以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。 这些内容构成直观几何的重要组成部分。 经验几何的具体研究内容 初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观、积累几何活动经验、培养空间观念，则是经验几何的核心目标。 按照初中阶段的经验几何认识过程的不同，通常可以将经验几何的学习内容，分成认识图形、进行立体图形与平面图形的转换、在运动与变换中研究几何图形的有关性质三部分。 度量几何 几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。 长度的含义 线段“两端之间的距离”。所谓距离。罗兰德（ Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长数。 1960年以后，用激光定义“米”。 目前，国际上采用的长度单位，是在 1983年 10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（ SI）中的长度单位“米（ meter）”定义为： 光于 299,792,458分之 1秒内在真空中所走的长度，称为“米”。 如果可以用一个线段 e 衡量两条线段 M， N，使得 M， N都是 e 的整数倍，我们称两个线段 M， N 是可公度的。 辗转相除方法，用后次的 a n截取前次的 an -1，即较长的那个线段减去短的那个线段，如此辗转截取，直到两个线段一样长，这个长度就是公度量。 古希腊的毕达哥拉斯学派，发现 正方形的边与其对角线不可公度3. 周长 “圆、椭圆或其它闭合的曲线的周界长度。” 一般地，周长指封闭曲线一周的长度。 （二）面积 物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小，对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”标志它的大小，称这个数为该图形的面积。 人们约定，将边长为 1米的正方形的面积规定为 1平方米。 于是，对于边长为整数 a米、 b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为 1米的正方形，进而，这个矩形就由 ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为 ab平方米（整数）。 如果矩形的边长 A， B是无理数，而且仍用边长为 1的正方形去度量，那么，还要使用极限过程，用一列有理数逼近无理数， a n A, b n B。依据 a n b n AB，以及有理数边长的矩形面积公式，最后得出，矩形的面积也是 AB。 这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的比”。 海伦 -秦九韶公式 刘徽用割圆法求圆面积 大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差越来越小，其极限值就是所要求的圆面积。 印度圆 取两个相等的圆，把它们等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形然后，把两个锯齿形互相嵌入即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径 r，底为圆周长 c，面积为 rc，从而得圆面积为 . 体积 是指物质或物体所占空间的大小。 （ 1 ）直接度量法 。把一种叫做“单位正方体”的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被 a 个正方体填满，那么这个几何体的体积就等于几个单位体积 。 （ 2 ）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度，再利用有关公式计算出这个几何体的体积。“面积公理”与测度公理既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。这个集合函数显然是非负函数，而且正方形的面积是 1。当然，两个不重叠的图形之并的面积，必须等于两个图形的面积之和。最后，如果图形经过移动、旋转、反射，其面积应该不变。这些性质放在一起，就成为面积公理的内容。 对于周长一定的矩形来说，边长相等时矩形面积最大，即正方形的面积最大。（ 2）对于面积一定的矩形来说，边长相等时矩形周长最小，即正方形的周长最小。 事实上，这个结论可以推广为：在周长相等的情况下，越接近圆的图形面积就越大，如， 第四节 变换几何 变换 就是一个集合到另一个集合的映射。几何变换、变换群的概念 几何变换 ，就是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。 变换群。实际上是满足一定条件的若干变换组成的集合： 如果某种几何变换的全体组成一个群，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容。 在初等几何中，变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。 全等变换如果从平面 ( 空间 ) 到其自身的映射，对于任意两点 A 、 B 和它们的像 A / ， B / 总有 A /B /=AB 。则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。 在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换） ,它把一个图形变成与 它反常全等的图形 , 即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向 。相似变换，第一种叫做真正相似变换（正相似变换），第二种叫做镜像相似变换（负相似变换）。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似 ( 正相似 ) 的图形 , 即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向 , 每对对应角有同一方向。 反演变换 在平面内设有一半径为 R ，中心为 O 的圆，对于任一个异于 O 点的点 P ，将其变换成该射线 OP 上一点 P / ，且使 OP /OP=R ，这个变换叫做平面反演变换。圆 O 叫做反演基圆，圆心 O 叫做反演中心或反演极， R 叫做反演半径或反演幂，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点 , 位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。 空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之，也成立。 演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。 合同变换：平移，旋转，反射 平移、旋转与反射的初步描述 图形相似的思想方法体现在图形相似的概念、性质和处理问题的手段之中。我们可以将其归结为如下五个方面： （ 1 ）图形相似问题的核心往往在于三角形相似与成比例线段，体现出化归思想（ 2 ）图形相似是反映大自然奥秘的一个窗口，图形相似在自然、社会和人类生活中具有广泛的普适性 。 （ 3 ）结构相同，即“同构”，是图形相似的重要特征之一。相似可以帮助我们从局部来研究整体。 （ 4 ）图形相似提供了认识三角形的另一个途径，三角形相似的判别方法可以强化我们对三角形构成元素的认识 。 （ 5 ）借助必要的工具和手段是学好图形相似的必要前提 。 平面图形初等变换之间的关系（一）平移、旋转、反射变换是全等变换 （二）平移、旋转都可以由若干次反射（轴对称）的复合而得到。 对于平移、旋转和轴对称（反射）来说，虽然三者都是全等变换，但是，容易发现，其中，轴对称（变换）更为基本。 （ 1） 对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的结果等同于一次平移； （ 2） 对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来替代完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。 （ 3） 任意一个合同变换至多可表示为三个反射的乘积。 第五节 演绎几何 从认知规律看，几何学习的基本途径 ,主要是四步： 直观感知操作确认演绎推理度量计算。 欧几里得与演绎几何 公理化方法渊源于几何学，而几何学起源于埃及。 希腊数学家欧几里得编成了几何原本一书。这本书内容丰富，结构严谨，对于几何学 的发展和几何学的教学都起了巨大的作用，它被人们赞誉为历史上的科学杰作。 欧几里得原本， 原说有 15卷，经后人多方面考证，公认只有 13卷。欧几里得原本对于几何直观、演绎推理进行处理的利弊得失原本作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。在训练人的逻辑推理思维方面，原本比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的数学原理一书，就是按照类似于原本的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德 罗素、阿尔弗雷德 怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是，从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识 理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到 1600 年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的 150 年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧几里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。爱因斯坦更是认为，“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”由此可见，原本一书对人类科学思维的影响是何等巨大。从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，原本的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用 的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。值得一提的是，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。 原本几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中，最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼，甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但是，改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角， 提供了现实世界的一个基本模型， 非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以， 这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。 它比较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如，内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。 这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。 一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。另一条途径是，用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪 60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。 确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。 相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给 欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野 。对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现。非欧几何，即非欧几里得几何，是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。 罗巴切夫斯基几何家罗巴切夫斯基 发现非欧几何 - 罗氏几何为止，肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。 黎曼几何欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。在同一平面内任何两条直线都有公共点 ( 交点 ) 。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当 “ 改进 ” 的球面。 三种几何的关系欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此，这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。 义务教育阶段几何课程内容的基本定位 义务教育阶段几何课程设计的特点简析义务教育阶段几何课程设计的特点 与以往的综合几何课程设计风格相比，数学课程标准下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。 新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以 “ 立体 平面 立体 ” 为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验学习的方法；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。 几何直观 主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 推理能力 的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。 直观几何、实验几何课程设计特点与综合几何的差异与综合几何相比，直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色： 1 不同的课程目标和价值取向从课程设计的角度看，直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式，而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式。 2 不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系 以论证为主的综合几何课程设计，立足于行为主义心理学，主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系。 相比之下，直观几何、实验几何课程设计观认为，有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上，依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作，教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者、引导者和合作者、参与者，注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异，师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新关系。 3 不同的课程设计风格在课程论中，课程有学科型课程与经验型课程之分。除了学科型课程和经验型课程外， 大多数课程介于两者之间。 直观几何、实验几何属于典型的经验型课程，而综合几何属于典型的学科型课程。 当前，我国实行的义务教育课程标准实验教科书大多介于学科型课程与经验型课程之间，只不过，有的更靠近后者，即比较“前卫”，而有的更靠近前者，“中规中矩”。 4 不同的教学要求 在直观几何、实验几何课程实施过程中，学生的直观感受和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体，而且直观教学变得十分重要。在这种课程设计时，有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开。 几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学，培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节。 因而，在直观几何、实验几何课程设计模式下，采用直观教学至关重要，可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情境之中，耳濡目染，受到感染，教师若采用图片直观，便可展现情景，给学生以鲜明生动的形象，学生的注意力很快被吸引到图片所展示的情境中。 如何理解初中几何及推理 新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以 “ 立体 平面 立体 ” 为主要线索 ，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作” + “推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。 初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。 在义务教育数学课程标准下，“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。 在“图形与几何”的核心课程教学在于：帮助学生建立 空间观念 ，注重培养学生的 几何直观 与 推理能力 。如何理解初中几何的核心目标发展几何直观与推理能力在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实出发，按照规定的法则证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。 基于此，数学课程标准把认识或把握空间与图形作为主旋律，以图形的认识、图形与变换、图形与位置（坐标）、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容。尽管全国初中数学课程标准实验教科书彼此之间都有差异，但是，发展几何直观与推理能力是普遍趋势。第三章 统计与概率 准确理解数学、概率、统计之间的关系（一）研究问题的出发点不同 数学研究的对象是从现实生活中抽象出来的数和图形。数学研究问题必须有定义，即数学研究问题的出发点是定义，没有定义无法进行数学的研究。统