高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练60 定点、定值、探索性问题 理 北师大版.doc

计时双基练六十定点、定值、探索性问题a组基础必做1(2015课标全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线c：y与直线l：ykxa(a0)交于m，n两点。(1)当k0时，分别求c在点m和n处的切线方程；(2)y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opmopn？说明理由。解(1)由题设可得m(2，a)，n(2，a)，或m(2，a)，n(2，a)。又y，故y在x2处的导数值为，c在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0。y在x2处的导数值为，c在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0。故所求切线方程为xya0和xya0。(2)存在符合题意的点，证明如下：设p(0，b)为符合题意的点，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直线pm，pn的斜率分别为k1，k2。将ykxa代入c的方程得x24kx4a0。故x1x24k，x1x24a。从而k1k2。当ba时，有k1k20，则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补，故opmopn，所以点p(0，a)符合题意。2(2015四川卷)如图，椭圆e：1(ab0)的离心率是，点p(0,1)在短轴cd上，且1。(1)求椭圆e的方程；(2)设o为坐标原点，过点p的动直线与椭圆交于a，b两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。解(1)由已知，点c，d的坐标分别为(0，b)，(0，b)。又点p的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b。所以椭圆e的方程为1。(2)当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为ykx1，a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。联立方程得(2k21)x24kx20。其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x2，x1x2。从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12。所以，当1时，23。此时，3为定值。当直线ab斜率不存在时，直线ab即为直线cd。此时，213。故存在常数1，使得为定值3。3(2015山西四校联考)椭圆c：1(ab0)的上顶点为a，p是c上的一点，以ap为直径的圆经过椭圆c的右焦点f。(1)求椭圆c的方程；(2)动直线l与椭圆c有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在？求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由。解(1)由题知f(c,0)，a(0，b)，0，得c2c0，又点p在椭圆c上，所以1，a22，b2c2a22，联立解得，c1，b21，故所求椭圆的方程为y21。(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，代入椭圆方程，消去y，整理得(2k21)x24kmx2m220，(*)因为方程(*)有且只有一个实根，又2k210，所以0，得m22k21。假设存在m1(1,0)，m2(2,0)满足题设，则由d1d21对任意的实数k恒成立，得解得或当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意。综上，在x轴上存在两个定点m1(1,0)，m2(1,0)它们到直线l的距离之积等于1。b组培优演练1.(2015陕西卷)如图，椭圆e：1(ab0)经过点a(0，1)，且离心率为。(1)求椭圆e的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p，q(均异于点a)，证明：直线ap与aq的斜率之和为2。解(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a。所以椭圆的方程为y21。(2)证明：由题设知，直线pq的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0。由已知0。设p(x1，y1)，q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2。从而直线ap，aq的斜率之和kapkaq2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2。2(2016大庆模拟)设抛物线c的方程为x28y，m为直线l：ym(m0)上任意一点，过m作抛物线c的两条切线ma，mb，切点分别为a，b。(1)当m的坐标为(0，2)时，求过m，a，b三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)当m变化时，试探究直线l上是否存在点m，使mamb？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由。解(1)当m的坐标为(0，2)时，设过m的切线方程为ykx2，联立整理得x28kx160，令(8k)24160，解得k1，mamb，将k1代入方程得x4，可取a(4,2)，b(4,2)，点m到ab的距离为4，过m，a，b三点的圆的圆心为f(0,2)，r4，圆的标准方程为x2(y2)216。又圆心(0,2)到直线l：y2的距离d4r，因此，圆与直线l：y2相切。(2)设切点a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线l上的点为m(x0，y0)，过抛物线上点a(x1，y1)的切线方程为yy1k(xx1)，yx，kmay|xx1x1，从而过抛物线上点a(x1，y1)的切线方程为yy1(xx1)，又切线过点m(x0，y0)，y0x0，即x2x0x18y00，同理可得过点b(x2，y2)的切线方程为x2x0x28y00。kma，kmb，且x1，x2是方徎x22x0x8y00的两