复数学习中常见错误剖析.pdf

2 0 0 2年第 9期 中学教研 数学 3 7 一事一议 一事一议 一事一议 一事 议 一事 一 议 一事 一 议 事一议 一 事一议 一事一议 一事 一 议 一事一议 一事一议 事一议 一事 复数学习中常见错误剖析 陈 星舂 湖北襄樊市第五中学4 4 1 0 2 1 一 事一议 一事一议 一事一议 一事一议 一事一议 一事一议 一事一议 一事一议 一事一 议 一事一议 一事一议 一事一议 事一议 一事一议 根据历年来 教学实践 学生在学 习复数这一章 时 嚣常犯下列错误 下面结合例子予以说明 1 没有 理解 对 实数 成 立而 对 复数不 成 立 的性质 以下结论对实数成立 对虚数不成立 0 若 Y 0 贝 0 Y 0 若 I I a 口 0 则 一 a 实数可 以比较大 小 但两个复数如果不全是实 数 则不 能 比较它们 的大小 如果 复数可 以比较大 小 则它们一定是实数 在实数范围内成立的 I I ER 在复数 范围内未必成立 I z 1 z z 无论在实数范围内还是 在复数范围内是成立的 还有 当 z ER 时 l zl 2 z 2 当 zE C时 也 未必成立 这都是 因为复数 模的概念实数模的概念 内涵发 生了改 变的缘故 在 实数范围内成立 但在虚数 范围内不成立 的事实还 有 不少 由于学生不了解上述 区别常犯错误 2 没有准确理解复数相等的充要条件 例 1 若方程 1 i 1 5 i x一 2 6 i 0 有 实 根 求这 个实 根 错解 方 程 整 理 为 一2 i 5 6 0 设 0是方程 的根 则 由复数相等得 到 的条 件 得 3 0 2 0 解得 0 一 2或 0 1 为所求的 实 根 剖析此解法 是没 有真正 理解 复数 相等 的含 义 因复数相等的充要条件是实部等于实部 同时虚 部等于虚部 正确的解法应 当是 由复数相等的充要条件得 I 6 X 0 2 0 6 5 xo 6 0 X 0 一 2 或 X 0 1 解得 l X 0 一3或 Z 0 一2 所以所求的实根为 一2 例 2 复数 z满足 z z 2 i z 3 ai a R 且 a r g z O 即 五 1时 方 程 z 一2 x k 0有两个实根 口 由韦达定理得 2 k 所 以 l a l a 卢 一 4 2 一4 k 2 解得 k 一1 2 当 4 4 是 1时 方 程 z 2 z k 0有 两 个 互 为 共 轭 的 虚 根 a 且 z 2 i 4 4 k 所 以 l a l l 2 i 2 4 4 k 一 2 i 2 4 4 k l l i v l 2 解得 k 3 综上所述 所求 的实数 k的值为k 一1或 3 5 混淆复数对应的点的平移与向量平移的区别 例 6 设复数 z在复平面内对应的点为 Z 将点 z绕坐标原点逆 时针方 向旋转 再沿实轴正方 向 平 移 1个 单 位 得 到 点 Z1 若 点 Z1 与 点 z 重 合 求 复数 2 解 由 题 意 可 得z o 6 号 is ln 号 1 z 解 得 2 一 i 例 7 设向量 O 是 坐标原点 对应 的复数 为 z 将 按顺时针方 向旋 转 再沿实轴正方 向 平移 3个单位 向下平移 1个单位 若所得的 向量对 应得复数为 1 一 i 求 复数 z 错解因为将 按顺时针方向旋转要得复数 z o s 一 号 n 一 卫3 1 z 一 q 3 再沿实轴正方 向平移 3个单位 向下平移 1个 单 位 得 复 数 1 z 3 一 譬 iz i 再 由 题 意 得 吉 z 3 一 譬 iz i 1 一 i 解 得 z L 2 1 3 一 剖析由于例 6与例 7不 同 例 6是复数 z在 复平面 内对应的点 Z在平 移 所 以此点对应 的复数 也随着变化 而例 7是向量平移 无论向量平移到什 么地方 它所表示的复数都是相 同的 所以正确的解 法是 因为 将 按 顺 时 针 方 向 旋 转 7 I 得 复 数 z c o s 一 号 is 一 号 1 一 譬 i 此 复 数 对应的向量再沿实轴正方 向平 移 3个单位 向下平 移 1个单位 所得 的复数仍然是 一 S 3 1 再 由题 意得 一 i 1 4 3 i 解得 2 6 在解方程中取模或 其它问题 中取 正切值 等等中 忽视 式子 成 立的 充要 条 件 扩 大 了范 围 例 8 若复数 z满 足 l z l 1 z z 1 求复 数 z 错解由 z m z 1 得 z 1 一z 两边取模 得 I z ml l zl 加 l 1 一z l 1 即l z一1 l 1 设 z 7C y i x R 则 I n b 1 n一1 b 1 解之 得 j 吉 I b 维普资讯 2 0 0 2年第 9期 中学教研 数学 3 9 所 以 所 求 的 复 数z 1 譬i 剖析上述解法 中方程两边取模扩 大了范 围 因为复数相等则模相等 但模相等不一定复数相等 事 实 上 将z 1 譬i 代 入z 1o z 1 中 方 程 两 边 不相等 从而原方程无解 复数方程不一定有解 例 9已知虚数 z满足 z 是实数 且 z 3 的辐角主值是 求虚数 z 错 解设 z z y i x Y R I l y O 贝 0 z 专 z 一 5 i 是 实 数 j 1 5 0 又 y 7 6 0 z Y 5 又 z 3 z 3 y i 的辐角主值是 t an等 联 立 解 得 x 1 l x 2 即所求的 虚数 z 一1 2 i 或 z 一2一i 剖 析此解 法在 z 3 z 3 y i 的辐 角 主 值 是 得t a n 等 是 由 角 相 等 一 定 可 得 出 三 角函数值相等 但由 t a n 不能得 出 3 z 3 y i 的辐角主值是 扩 大了范 围 实 际上 由于在 同一直线上正切值相等 而 z 3 z 3 y i 的辐 角主值是竿时复数z 只是在一条射线上 所以应当 限 定 z 3 0 而所求的虚数 z不存在 7 继续用判别式判 别复系数 的一元二次方程有无 实根造成失误 例 1 0 若关于 z的方程z k 2 i x 卜 2 k i 0有实根 求实数 k的值 错解原方程 z k 2 i z 2 k i 0有实 根 所 以判别式 k 2 i 一4 2 k i 0 即 k 1 2 解得 k 2 3 为所求 剖析复系数一元二次方程 b x c 0 口 0 b 4 a c一般不能用来判别这个方程有无 实根的情况 因为此时判别式是复 系数方程有无实 根的既不充分也不必要条件 正确解法 原方程化为 z k z 2 2 x k i 0 设 z 0 是原方程的实根 则 z 3 垃0 2 2 x 0 k 0 则由复数相等条件得 z k z 2 0 l l 2 z k 0 解得 k 2 2 事一议 一事一议 一事一馒 一 事一议 一事一议 事一议 一 事一议 事一议 一事一设 一 事一馒 一事一议 一事一议 事 谩 相 似 而 不 同 的 两 道 题 申祝平 陕西师范大学附属中学7 1 0 0 6 1 事 一议 中 学 教 研 由 掌 教 研 一 事一议 一事一议 一事一议一 一 事一议 事一议 事一议 一事一议 一 一事一议 一事一议 一事一议 一 一事一议一 一 一事一议 事一议 一事一议 大 家知道 在复数范 围内 关于 z 的二次方 程 b x C 0 口 b C是常 数 且 口 0 有且只有 两 个根 z z2 如 方程 i x 0的根是 z1 0 z 2 0 两个 相等的 实数根 方程 i 一i x 0的根是 X1 0 X 2 1 两个 不 相等 的实数根 方 程 X 一2 i x一1 0的根 是