平面向量基本定理.doc

2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理和意义，能用基底表示平面内任意给定向量.2.掌握三点共线的向量表示方法.3.在了解平面向量基本定理的基础上，理解并掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 4.体会向量与几何问题、物理中力学问题的联系.一、引入悟境1.回顾三个基本内容：（1）向量的加法运算与平行四边形法则；（2）实数与向量的积；（3）向量共线定理.2.由平行四边形法则思考这样一个问题：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？二、引领悟识1.作图研究任一向量与两不共线向量的关系作图：任意画两个不共线的向量，及任意向量，如何用，表示2.平面向量基本定理平面向量基本定理：如果，是平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 实数，使 .此时不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组 .【对定理的理解】（1）定理的实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.（2）对基底的理解，同一平面内可以有不同的基底，只要是两个不共线的向量都可以成为一组基底.一旦基底定了，那么定理中的，就唯一确定了，也就是说，1，2是被，唯一确定的数量.（基底可以有零向量吗？）（3）基底背景下向量共线的条件我们很容易得到下述结论：设，为一组基底，若向量与向量共线，则 ，反之亦然.（4）基底背景下向量相等的条件：设，为一组基底，若向量与向量相等，则： 。3.两向量的夹角非零向量、的夹角，一般用 表示两向量的夹角.注意向量、的始点为同一点.夹角的范围 ，而不共线向量夹角范围为 .几个特殊夹角对应的特殊位置：若向量、的夹角为，那么时，与 ；时，与 ；（）时，与 ，记作 .三、引导悟技1.理解平面向量基本定理例1.设是平面内一组基底，用反证法证明：当时，恒有.变式1：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.A. B. C. D.2. 利用基底表示平面内的向量例2.（1）已知中，为的中点， 、为的三等分点，若，用，表示、.（2）在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.【变式2】（1）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（ ）ABC D（2）如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.3.向量共线及应用例3.已知向量，平面内一组基底，且，.（1）若、三点共线，求的值.（2）、C、能否共线？【变式3】1已知，一组基底，且，若，共线，则=_.2已知向量，是一组基底，且，则实数的值为 .3.如图，在中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若。试问：是否为定值？4.利用平面向量基本定理进行几何证明例4.在平行四边形中，点是的中点，点在上，且，求证：、三点共线.【变式3】证明：三角