浅谈分类讨论思想.doc

浅谈分类讨论思想分类讨论思想是解答数学问题的一种重要思想方法和解题策略。它是为了解决因各种因素制约着的数学问题，使原本变幻的不定的问题，分解成若干个相对确定的问题，再各个击破，从而获得完整的解答。而在很多数学概念、公式、法则、性质、定理中都蕴含着分类讨论思想。1 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略2 运用分类讨论的思想解题的基本步骤确定讨论对象和确定研究的区域；对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；归纳总结，整合得出结论3 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等5分类讨论思想的类型问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；问题中的条件是分类给出的；解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的6 典型题例例1解不等式ax 2a如果不加区分，得x2,那就不对了。事实上，既可以a0,或是a=0，也可以a0时，则x2；当a=0时，原不等式为0x0，故不等式无解；当a0时，则x0,a=0,a0，分别处理，才获得正确的解。例2解方程对于绝对值的问题，往往要对绝对值符号内的对象区分为正数、负数、零3种，在每种情况下再分别处理：这一方程里出现了两个数的绝对值，即 和 ，对于 应分为x=-2,x-2;对于 应区分为x=3与x3,x-2,-2x3,x3。得解如下：当x-2时，原方程为-(x+2)+3-x=5，得x=-2，这与x-2矛盾，故在x3时，原方程为x+2-(3-x)=5，得x=3，这与x3矛盾，故在x3时，方程无解。综上所述，原方程的解为满足-2x3的任何实数。例3甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的 倍。现在甲、乙两人在跑道上相距8米处同时出发，问经过多少秒钟后，两人首次相遇？本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑步，也不知同向跑步时谁在前谁在后，或反向跑步时两人之间的距离是面对面的距离还是对背的距离，所以解题时应分类讨论，逐一求解：设经过X秒甲、乙两人首次相遇若两人同向跑步，且甲在乙的前面8米，则6x-6x=400-8，解得x=196；若两人同向跑步，且乙在甲前面8米，则6x-6x=8，解得x=4；若两人反向跑步，面对面相距8米，则6x+6x=8，解得x= ；若两人反向跑步，且背对背相距8米，则6x+6x=400-8，解得x=28。答：略。分类讨论几乎渗透到数学中的每一个角落，按初中数学知识体系，主要分布在：代数式中的分类讨论、方程中的分类讨论、不等式中的分类讨论、函数中的分类讨论、应用题中的分类讨论、几何图形（点、线、三角形、四边形、圆）中的分类讨论。分类讨论问题解决的关键是弄清引起分类讨论的原