学案7 空间向量在立体几何中的应用.ppt

考点1 考点2 考点3 考点4 考纲解读 返回目录 考向预测 返回目录 从近两年的高考看 利用空间向量证明平行与垂直 求异面直线所成的角 线面角及二面角大小是高考的热点 题型主要是解答题 难度属中等偏高 主要考查向量的坐标运算 空间想象能力和运算能力 预计2012年仍将以考查用向量方法证平行与垂直 求三类角大小为主 重点考查数量积运算 空间想象能力和运算能力 返回目录 1 平面的法向量直线l 取直线l的 则叫做平面 的法向量 2 直线l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 则l 方向向量a 向量a u v 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 返回目录 3 设直线l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 则l 若平面 的法向量u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 则 4 空间的角 1 若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2 l1与l2所成的角为 则cos u v a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 u v 0 u v a1a2 b1b2 c1c2 0 cos 2 已知直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u l与 的夹角为 则sin 3 已知二面角 l 的两个面 和 的法向量分别为v u 则与该二面角 5 空间的距离 1 一个点到它在一个平面内的距离 叫做点到这个平面的距离 2 已知直线l平行平面 则l上任一点到 的距离都 且叫做l到 的距离 返回目录 cos 相等或互补 正射影 相等 3 和两个平行平面同时的直线 叫做两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做两个平面的 两平行平面的任两条公垂线段的长都相等 公垂线段的叫做两平行平面的距离 也是一个平面内任一点到另一个平面的距离 4 若平面 的一个为m P是 外一点 A是 内任一点 则点P到 的距离d 返回目录 垂直 公垂线段 长度 法向量 返回目录 考点1用向量证明平行 垂直问题 2010年高考安徽卷 如图 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H为BC的中点 1 求证 FH 平面EDB 2 求证 AC 平面EDB 证明 四边形ABCD为正方形 AB BC 又EF AB EF BC 又EF FB EF 平面BFC EF FH AB FH 又BF FC H为BC的中点 FH BC FH 平面ABC 以H为坐标原点 HB为x轴正方向 HF为z轴正方向 建立如图所示的坐标系 返回目录 分析 建立空间直角坐标系 利用向量方法做出证明 返回目录 设BH 1 则A 1 2 0 B 1 0 0 C 1 0 0 D 1 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 1 设AC与BD的交点为G 连接EG GH 则G 0 1 0 GE 0 0 1 又HF 0 0 1 HF GE 又GE 平面EDB HF 平面EDB FH 平面EBD 2 AC 2 2 0 GE 0 0 1 AC GE 0 AC GE 又AC BD EG BD G AC 平面EDB 返回目录 利用直线的方向向量和平面的法向量 可以判定直线与直线 直线与平面 平面与平面的平行和垂直 返回目录 2009年高考浙江卷 如图 平面PAC 平面ABC ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 AC 16 PA PC 10 1 设G是OC的中点 证明 FG 平面BOE 2 证明 在 ABO内存在一点M 使FM 平面BOE 并求点M到OA OB的距离 返回目录 解析 1 证明 如图 连结OP 以点O为坐标原点 分别以OB OC OP所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系Oxyz 则O 0 0 0 A 0 8 0 B 8 0 0 C 0 8 0 P 0 0 6 E 0 4 3 F 4 0 3 由题意 得G 0 4 0 因为OB 8 0 0 OE 0 4 3 所以平面BOE的法向量n 0 3 4 由FG 4 4 3 得n FG 0 又直线FG不在平面BOE内 所以FG 平面BOE 返回目录 2 设点M的坐标为 x0 y0 0 则FM x0 4 y0 3 因为FM 平面BOE 所以FM n 因此x0 4 y0 即点M的坐标是 4 0 在平面直角坐标系xOy中 AOB的内部区域可表示为不等式组x 0y 0 x y 8 经检验 点M的坐标满足上述不等式组 所以 在 AOB内存在一点M 使FM 平面BOE 由点M的坐标 得点M到OA OB的距离分别为4 返回目录 考点2用向量方法求线面角 2010年高考辽宁卷 如图 已知三棱锥P ABC中 PA 平面ABC AB AC PA AC AB N为AB上一点 AB 4AN M S分别为PB BC的中点 1 证明 CM SN 2 求SN与平面CMN所成角的大小 分析 根据条件建立空间直角坐标系 利用向量坐标运算证明 求解 返回目录 解析 1 证明 设PA 1 以A为原点 AB AC AP所在直线分别为x y z轴正向建立空间直角坐标系如图所示 则P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 N 0 0 S 1 0 所以CM 1 1 SN 0 因为CM SN 0 0 所以CM SN 2 NC 1 0 设a x y z 为平面CMN的一个法向量 则a CM 0a NC 0 返回目录 即x y z 0 x y 0 令x 2 得a 2 1 2 因为 cos a SN 所以SN与平面CMN所成角为45 返回目录 1 本题考查异面直线垂直 线面角的求法 空间直角坐标系的建立等知识 重点考查了在空间直角坐标系中点的坐标的求法 同时考查空间想象能力和推理运算能力 难度适中 2 利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 返回目录 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PD 底面ABCD AD PD E F分别为CD PB的中点 1 求证 EF 平面PAB 2 设AB BC 求AC与平面AEF所成角的正弦值 1 证明 以D为原点 DC DA DP的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 设PD 1 AB a 则C a 0 0 A 0 1 0 P 0 0 1 E 0 0 B a 1 0 F EF 0 AB a 0 0 PA 0 1 1 EF AB 0 EF PA 0 EF ABEF PA 返回目录 EF 平面PAB 返回目录 2 AB BC a 从而AC 1 0 AE 1 0 EF 0 设平面AEF的法向量为n x y z 则n AE 0 x y 0n EF 0 y z 0 令x 则y 1 z 1 平面AEF的一个法向量为n 2 1 1 设AC与平面AEF所成角为 则sin cos AC与平面AEF所成角为arcsin 返回目录 考点3用向量方法求二面角 2010年高考浙江卷 如图 在矩形ABCD中 点E F分别在线段AB AD上 AE EB AF FD 4 沿直线EF将 AEF翻折成 A EF 使平面A EF 平面BEF 1 求二面角A FD C的余弦值 2 点M N分别在线段FD BC上 若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折 使C与A 重合 求线段FM的长 返回目录 分析 1 建立空间直角坐标系后 求两个面的法向量所成的角 2 用待定系数法求解 解析 1 取线段EF的中点H 连接A H A E A F及H是EF的中点 A H EF 又 平面A EF 平面BEF A H 平面A EF A H 平面BEF 如图 建立空间直角坐标系Axyz 则A 2 2 2 C 10 8 0 F 4 0 0 D 10 0 0 故FA 2 2 2 FD 6 0 0 返回目录 设n x y z 为平面A FD的一个法向量 n FA 0 n FD 0 2x 2y 2z 06x 0 取z 则n 0 2 又平面BEF的一个法向量m 0 0 1 故cos 二面角A FD C的余弦值为 2 设FM x 则M 4 x 0 0 翻折后C与A 重合 CM A M 故 6 x 2 82 02 2 x 2 22 2 2 得x 经检验 此时点N在直线BC上 FM 返回目录 利用空间向量方法求二面角 可以有两种办法 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 或 注意 利用空间向量方法求二面角时 注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 返回目录 如图 四棱锥S ABCD中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD AD DC SD 2 点M在侧棱SC上 ABM 60 1 证明 M是侧棱SC的中点 2 求二面角S AM B的余弦值 返回目录 解析 如图 以D为原点 射线DA DC DS为x y z轴的正方向建立空间直角坐标系 则D 0 0 0 S 0 0 2 C 0 2 0 B 2 0 A 0 0 1 证明 设SM MC 0 则M 0 MB 又AB 0 2 0 60 故MB AB MB AB cos60 即 解得 1 即SM MC 所以M为侧棱SC的中点 返回目录 2 由M 0 1 1 A 0 0 得AM的中点G 又GB MS 0 1 1 AM 1 1 GB AM 0 MS AM 0 所以GB AM MS AM 因此等于二面角S AM B的平面角 cos 所以二面角S AM B的余弦值为 返回目录 考点4简单的距离问题 2010年高考江西卷 如图 BCD与 MCD都是边长为2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 2 1 求点A到平面MBC的距离 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 分析 建立坐标系后 代入点到平面的距离公式 可求点A到平面MBC的距离 返回目录 解析 取CD中点O 连接OB OM 则OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 所以MO 平面BCD 取O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如图 OB OM 则各点坐标分别为C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 2 1 设n x y z 是平面MBC的法向量 则BC 1 0 BM 0 由n BC得x y 0 由n BM得y z 0 取n 1 1 BA 0 0 2 则 返回目录 2 CM 1 0 CA 1 2 设平面ACM的法向量为n1 x1 y1 z1 由n1 CM n1 CA得 x1 z1 0 x1 y1 2z1 0 解得x1 z1 y1 z1 取n1 1 1 又平面BCD的法向量为n2 0 0 1 所以cos 设所求二面角为 则sin 故所求二面角的正弦值为 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面间的距离 异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容 可以和多种知识相结合 是诸多知识的交汇点 本题考查了点到平面的距离和垂直 夹角问题 这是命题的方向 要给予高度重视 返回目录 如图示 在三棱锥P ABC中 AC BC 2 ACB 90 AP BP AB PC AC 1 求证 PC AB 2 求二面角B AP C的余弦值 3 求点C到平面APB的距离 返回目录 1 证明 AC BC AP BP APC BPC 又PC AC PC BC AC BC C PC 平面ABC AB 平面ABC PC AB 返回目录 2 如图 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 则C 0 0 0 A 0 2 0 B 2 0 0 设P 0 0 t PB AB 2 t 2 P 0 0 2 取AP中点E 连接BE CE AC PC AB BP CE AP BE AP BEC是二面角B AP C的平面角 E 0 1 1 EC 0 1 1 EB 2 1 1 cos BEC 二面角B AP C的余弦值为 返回目录 3 AC BC PC C在平面APB内的射影为正 APB的中心H 且CH的长即为点C到平面APB的距离 如 2 中建立的空间直角坐标系C xyz BH 2HE 点H的坐标为 CH 点C到平面APB的距离为 返回目录 返回目录 1 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉