数学人教版九年级上册《二次函数复习课》教学设计.doc

第二十二章复 习 课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.体系构建核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac0时开口向上y轴(0,0)最小值0a0时开口向上y轴(0,k)最小值ka0时开口向上x=h(h,0)最小值0a0时开口向上x=h(h,k)最小值ka0时开口向上x=-b2a(-b2a,4ac-b24a)最小值4ac-b24aay2成立的x的取值范围是x8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=12(x2-8x+10)=12(x2-8x+16)-16+10=12(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-4212=4,y最小=4125-16412=-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.说明抛物线y=-3x2-6x+8通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-83)=-3(x2+2x+1)-1-83=-3(x+1)2+11,抛物线的顶点坐标是(-1,11),把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4,解得a=1.所以抛物线的解析式为y=x2-5x+4=x2-5x+254-254+4=(x-52)2-94,所以抛物线顶点P的坐标为(52,-94).(2)答案不唯一,如:把抛物线y=x2-5x+4先向上平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,这时对应的抛物线解析式为y=(x+12)2+34.【方法归纳交流】抛物线的平移规律:左加右减,上加下减.专题四:二次函数解析式的确定7.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则此函数的关系式为(A)A.y=-x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=-x2-2x+3D.y=-x2-2x-38.已知二次函数的顶点为(1,-3),且经过点P(2,0),求这个函数的解析式.解:设所求函数解析式为y=a(x-1)2-3,图象经过P(2,0),0=a(2-1)2-3,解得a=3.所求函数的解析式为y=3(x-1)2-3,即y=3x2-6x.【方法归纳交流】利用待定系数法求二次函数的解析式,若已知三点,通常设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c;若已知顶点,通常设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.专题五:二次函数与一元二次方程9.已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1.(1)求证:不论m为何值时,函数的图象与x轴总有交点,并指出当m为何值时,只有一个交点.(2)当m为何值时,函数的图象经过原点?(3)在(2)的图象中,写出y0时x的取值范围.解:(1)b2-4ac=-(m+1)2-42(m-1)=m2+2m+1-8m+8=m2-6m+9=(m-3)2.显然不论m为何值时,总有b2-4ac=(m-3)20.故不论m为何值时,抛物线与x轴总有交点,且当x=3时,只有一个交点.(2)函数的图象经过原点(0,0),0=202-(m+1)0+m-1,m=1.即当m=1时,函数的图象经过原点.(3)由(2)得y=2x2-2x.其图象如图.抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(1,0),当y0时,0x0时,x1.【方法归纳交流】当b2-4ac0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点.抛物线在x轴上方的部分,对应的函数值0;抛物线在x轴下方的部分,对应的函数值0.专题六:抛物线中三角形的面积10.如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1).(1)求直线和抛物线的解析式;(2)如果D为抛物线上一点,使得AOD与OBC的面积相等,求D点坐标.解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,直线过点A(2,0),B(1,1),代入解析式求得k=-1,b=2.直线解析式为y=-x+2;把B(1,1)代入y=ax2,求得a=1,抛物线解析式为y=x2.(2)由y=-x+2与y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(-2,4),SOBC=SAOC-SOAB=3.SAOD=SOBC且OA=2,D点的纵坐标为3.又D在抛物线y=x2上,x2=3,即x=3,D(-3,3)或(3,3).【方法归纳交流】在求斜置于平面直角坐标系中的三角形的面积时,一般可用割补法将其转化为一边在坐标轴上的多边形的面积的和或差求解.专题七:二次函数的实际应用11.某跳水运动员在进行10 m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面1023 m,入水处距池边的距离为4 m,同时运动员在距水面高度5 m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势时,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为335 m,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.解:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx,由最高点公式可得-b24a=23,由抛物线经过点(5,-10)可得25a+5b=-10,由可得a=-23,b=43或a=-625,b=-45(舍去).抛物线解析式为y=-23x2+43x.(2)当运动员在空中距池边的水平距离为335 m时,x=335+1=235,y=-23(235)2+43235=-59875,此时运动员距水面的高度为10-598755,因此,此次跳水会出现失误.12.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价一元,日销售量将减少20千克.(1)现要保证每天盈利6000元,同时又要让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?(2)若该商场单纯从经济角度看,那么每千克应涨价多少元,能使商场获利最多?解:(1)设每千克水果应涨价x元,依题意可得方程(500-20x)(10+x)=6000,整理,得x2-15x+50=0,解这个方程,得x1=5,x2=10.要使顾客得到实惠,应取x=5.答:每千克水果应涨价5元.(2)设商场获利y元,y=(500-20x)(10+x),当x=7.5时y最大.13.桥的部分横截面如图所示,上方可看成是一个经过A、C、B三点的抛物线,以桥面的水平线为x轴,经过抛物线的顶点C且与x轴垂直的直线为y轴,建立直角坐标系.已知垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为2米(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱).CO=1 m,FG=2 m.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式;(2)求柱子AD的高度.解:(1)由题意,可知点C的坐标为(0,1),