数学人教版九年级上册动态几何中的定值问题.docx

动态几何中的定值问题广西大学附属中学数学组 李佳2017.6.20动态几何中的定值问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面学生综合分析和解决问题的能力。动态几何中的定值问题是指在研究的图形中有一部分图形的大小、位置固定，而另一部分图形的大小、位置按某种规律变动，但是与变动图形有关的几何量一定。下面举几例来看看动态几何中的定值问题。例1如图，已知BC是O的弦，A是O外一点，ABC为正三角形，D为BC的中点，M为O上一点，并且BMC=60（1）求证：AB是O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且EDF=120，O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由考点：切线的判定；等边三角形的性质.专题：证明题分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得ODBC，BOD=COD，再根据圆周角定理得BOD=M=60，则OBD=30，所以ABO=90，于是根据切线的判定定理得AB是O的切线；（2）作DMAB于M，DNAC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分BAC，BAC=60，则利用角平分线性质得DM=DN，根据四边形内角和得MDN=120，由于EDF=120，所以MDE=NDF，接着证明DMEDNF得到ME=NF，于是BE+CF=BM+CN，再计算出BM=BD，CN=OC，则BE+CF=BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边ABC边长的一半解答：（1）证明：连结OB、OD，如图1，D为BC的中点，ODBC，BOD=COD，ODB=90，BMC=BOC，BOD=M=60，OBD=30，ABC为正三角形，ABC=60，ABO=60+30=90，ABOB，AB是O的切线；（2）解：BE+CF的值是为定值作DMAB于M，DNAC于N，连结AD，如图2，ABC为正三角形，D为BC的中点，AD平分BAC，BAC=60，DM=DN，MDN=120，EDF=120，MDE=NDF，在DME和DNF中，DMEDNF，ME=NF，BE+CF=BMEM+CN+NF=BM+CN，在RtDMB中，DBM=60，BM=BD，同理可得CN=OC，BE+CF=OB+OC=BC，BE+CF的值是定值，为等边ABC边长的一半点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也可了等边三角形的性质例2如图，在ABC中，D是AB边上一点，O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90（1）求证：直线AC是O的切线；（2）如果ACB=75，若O的半径为2，求BD的长；试问CD：BC的值是否为定值？若是，直接写出这个比值；若不是，请说明理由（考点）切线的判定；相似三角形的判定与性质（专题）证明题（分析）（1）由DOC=2ACD=90易得ACD=45，OCD为等腰直角三角形，则OCD=45，于是可计算出OCA=90，则可根据切线的判定定理得到直线AC是O的切线；（2）由于ACB=75，ACD=45则DCB=30，由OCD为等腰直角三角形得到CD=OC=2，根据圆周角定理得到DBC=COD=45，作DHBC于H，如图，利用解直角三角形，先在RtCDH中求出DH=CD=，然后在RtBDH中可计算出BD的长；设O的半径r，则CD=r，与一样先求出DH=CD=r，CH=DH=r，再求出BH=DH=r，所以BC=BH+CH=r，然后的值（1）证明：DOC=2ACD=90，ACD=45，OCD为等腰直角三角形，OCD=45，OCA=OCD+ACD=90，OCAC，直线AC是O的切线；（2）解：ACB=75，ACD=45，DCB=30，OCD为等腰直角三角形，CD=OC=2，DBC=COD=45，作DHBC于H，如图，在RtCDH中，DCH=30，DH=CD=2=，在RtBDH中，DBH=45，BD=DH=2；CD：BC的值是定值设O的半径r，则CD=r，在RtCDH中，DCH=30，DH=CD=r，CH=DH=r，在RtBDH中，DBH=45，BH=DH=r，BC=BH+CH=