数学人教版九年级上册正多边形与圆 练习.3-正多边形和圆-达标训练(含答案).doc

24.3正多边形和圆 达标训练一、基础巩固达标1正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴.2.中心角是45的正多边形的边数是_.3.若正 n边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n边形有_条对称轴.4.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）A. 扩大了一倍 B. 扩大了两倍 C. 扩大了四倍 D.没有变化5.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）A. 321 B.432 C. 421 D. 6436.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()A.62 B.34 C. 63 D.437. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（） A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4D.S4S6S3 8.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）A. B. C. D.9.已知O和O上的一点A（如图24-3-2）.（1）作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是O内接正十二边形的边. 图24-3-2二、综合应用创新10某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数.11如图24-3-3，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？ 图24-3-312如图24-3-4，两相交圆的公共弦AB，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 图24-3-4三、回顾热身展望13如图24-3-5，ABC是等边三角形，O过点B、C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DFAC， EF的延长线交 BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；（2）若 BA=4，CG=2，求 BF的长. 图24-3-514如图24-3-6、n、M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.图24-3-615.将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图24-3-7），其他条件不变.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明. 图24-3-7参考答案一、基础巩固达标1正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴.提示：正 n边形的对称轴与它的边数相同.答案：562.中心角是45的正多边形的边数是_.提示：因为正n边形的中心角为，所以45=，所以 n=8.答案：83.若正 n边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n边形有_条对称轴.提示：因为正n边形的外角为，一个内角为，所以由题意得= ，解这个方程得 n=5.答案：54.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）A. 扩大了一倍 B. 扩大了两倍 C. 扩大了四倍 D.没有变化提示：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.答案：D5.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）A. 321 B.432 C. 421 D. 643提示：如右图，设正三角形的边长为 a，则高AD=a， OA=a，OC=a，所以ADOAOC=321.答案：A6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()A.62 B.34 C. 63 D.43提示：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案：A7. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（） A.S3S4S6B.S6S4S3C.S6S3S4 D.S4S6S3 提示：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B8.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）A. B. C. D.提示：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5，则边长为.答案：D9.已知O和O上的一点A（如图24-3-2）.（1）作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是O内接正十二边形的边.图24-3-2提示：求作O的内接正六边形和正方形，依据定理应将O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂直于弦的直径的性质知把圆四等分.要证明DE是O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于36012=30（1）作法：作直径AC；作直径BDAC；依次连接A、B、C、D四点.四边形ABCD即为O的内接正方形.分别以A、C为圆心，OA的长为半径作弧，交O于E、H、F、G；顺次连接A、E、F、C、G、H各点;六边形AEFCGH为O的内接正六边形.（2）证明：连接OE、DE.AOD=90，AOE=60，DOE=AOD-AOE=30.DE为O的内接正十二边形的一边.二、综合应用创新10某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数.提示：由正多边形的内角和与外角公式可求.解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得-=100.解得n=9.11如图24-3-3，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-3提示：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连接O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正O1O2O3的中心，求出这个正O1O2O3的半径，再加上O1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连接O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正O1O2O3，则正O1O2O3的半径为 cm，所以大圆的半径为 +2= (cm).12如图24-3-4，两相交圆的公共弦AB，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-4提示：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可.解：设正三角形外接圆O1的半径为R3，正六边形外接圆O2的半径为 R6，由题意得 R3=AB，R6=AB，R3R6=3.O1的面积O2的面积=13.三、回顾热身展望13如图24-3-5，ABC是等边三角形，O过点B、C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DFAC， EF的延长线交 BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；（2）若 BA=4，CG=2，求 BF的长.图24-3-5（1）证明：ABC是等边三角形， BCA=BAC=60. DFAC，D=BAC=60,BEF=D=60.又 BFE=BCA=60，BEF是等边三角形.（2）ABC=EBF=60,FBG=ABE.又 BFG=BAE=120，BFGBAE. =BGBE.又BG=BC+CG=AB=CG=6，BE=BF， BF2=ABBG=24，可得BF=2（舍去负值）.14如图24-3-6、n、M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.图24-3-6（1）求图24-3-6中MON的度数；（2）图24-3-6中MON的度数是_，图24-3-6中MON的度数是_；（3）试探究MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.（1）解法一：连接OB、OC.正ABC内接于O，OBM=OCN=30，BOC=120.又BM=CN，OB=OC，OBMOCN.BOM=OCN.MON=BOC=120.解法二：连接OA、OB.正ABC内接于O，AB=AC，OAM=OBN=30，AOB=120.又BM=CN，AM=BN.又OA=OB，AOMBON.AOM=BON.AON=AOB=120.（2）9072（3）MON=.15.将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图24-3-7），其他条件不变.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明.图24-3-7证法一：延长DM到N，使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H.MA=ME，1=2，MD=MN，AMDEMN.3=4，AD=NE.又正方形ABCD、CGEF，CF=EF，AD=DC，ADC=90，CFE=ADC=FEG=FCG=90,DC=NE,3=4，ADEH.H=ADC=90,G=90，5=6，7=8,7DCF=8FEN=90，DCF=FEN.FC=FE，DCFNEF.FD=FN，DFC=NFE.CFE=90，DFN=90.FMMD，MF=MD.证法二：如右图，过点E作AD的平行线分别交DM、