数学人教版九年级上册直线和圆的位置关系（第2课时）教学设计.doc

24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）（又名：切线的判定与性质）一、内容和内容解析1. 内容 切线的判定定理与性质定理。2. 内容解析 在学习了直线与圆的三种位置关系之后，我们将重点研究直线和圆相切的情况。这节内容是切线的图形特征和数量特征的进一步延续，是数学课程标准中“图形与几何”的重要组成部分。判断直线和圆相切的方法有三种：第一种是根据圆和直线的交点个数判断（和圆只有一个公共点的直线是圆的切线）；第二种是根据圆心到直线的距离与半径的大小判断（和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线）；第三种就是根据切线的判定定理判断，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。此时，应注意定理中的两个条件“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两者缺一不可。其实，切线的判定定理是从第二种方法直接得来的，只不过是为了便于应用，才改写成这样的形式。切线的性质定理是判定定理的逆定理。对于切线的性质定理，可以从“二个点”和“一个垂直关系”这三者之间的关系去发现。二个点圆心（点）和切点，一个垂直过切点的半径与切线互相垂直。如果一条直线满足这三个条件中的任意两个，那么它必定满足第三个条件。于是便可以得到性质（1）切线垂直于过切点的半径；（2）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；（3）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理与性质定理。二、目标和目标解析 1. 目标 （1）探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。 （2）理解并掌握切线的判定定理与性质定理，会利用判定定理与性质定理解决简单问题。 2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能自主完成过圆上一点画出这个圆的切线，进而理解“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”。反过来，也能认识到“圆的切线垂直于过切点的半径”。达成目标（2）的标志是：学生能够分清判定定理和性质定理的题设和结论，并能解决简单问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。三、教学问题诊断分析学生在学习完直线和圆的位置关系后，能够说出如果d=r直线和圆相切，但是如果直接得出切线的判定定理对多数学生而言是个挑战，困难在于如何用简练而准确的语言叙述判定定理，此时可以先从教材中的“思考”入手，逐步引导学生自己说出定理内容，教师适时给予补充和纠正，还可以让学生自己动手画图，感受定理中两个条件缺一不可。另外，判定定理和性质定理中的题设和结论较为隐蔽，教师也要适时做以引导。在利用判定定理和性质定理解题时，常常需要添加辅助线，学生也常常对此感到困惑。因此，教师可以举出实例，帮助学生总结证明一条直线是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）有公共点时，连半径，证垂直；（2）无公共点时，作垂直，证半径。在运用性质定理解题时，可以连半径，得垂直。基于以上分析，本节课的教学难点是：引导学生得出切线的判定定理，掌握添加辅助线的方法。四、教学过程设计1. 复习直线和圆的三种位置关系问题1: 图1、图2、图3中的直线l和O是什么关系？如何判断这三种位置关系？师生活动：学生回顾上节课所学，教师提问：（1） 图1、图2、图3中的直线l和O是什么关系？（相离、相切、相交）（2） 如何判断这三种位置关系？（可以从公共点的个数和圆心到直线的距离d和半径r的关系两个方面去判断。）设计意图：复习旧知，为接下来学习切线的判定定理和性质定理做准备。2. 探索切线的判定定理问题2: 根据之前学过的知识，如何画出圆的一条切线？师生活动：学生动手操作，可能无从下手，教师要进行引导，可以添加一条半径，降低难度。（学生回答：如果添加一条半径，可以画一条直线与这条半径垂直。）教师追问：如果只满足“垂直于半径”这一个条件可以吗？（学生回答：还要过半径外端。）教师追问：如果只有“过半径外端”呢？（学生回答：还要垂直于半径。）师生活动：如果只满足“垂直于半径”这个条件，演示图1中的动画。如果只满足“过半径外端”，演示图2中的动画。在这个过程中，可能有些同学画的直线经过半径的外端但不一定与半径垂直，或者虽然垂直半径但不一定经过半径的外端。这些问题教师都需及时关注并给予指导纠正。 图1 图2设计意图：学生通过动手画图，感受直线变成切线，两个条件缺一不可。问题3: 由前面学习的两个条件，你能不能总结出切线的判定定理？师生活动：学生根据两个条件，即“经过半径的外端”且“垂直于半径”总结出切线的判定定理，即经过半径的外端并且垂直半径的直线是圆的切线。教师追问：判定定理中的题设和结论分别是什么？（学生回答：题设是一条直线经过半径的外端并且垂直于半径，结论是这条直线是圆的切线。）教师追问：分清了题设和结论，能不能把判定定理用几何语言表示出来？（学生回答： OA是半径，OAl于A l是O的切线）设计意图：通过一系列的问题串，使学生自主说出切线的判定定理。分清定理的题设和结论，写出定理的几何表示也是应用定理解决问题的关键。问题4: 判断直线与圆相切，你有多少种方法？师生活动：学生回答，三种方法。分别是（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 教师补充，需要和学生说明的是，判定定理是为了便于应用直线和圆相切的定义而改写的一种形式。设计意图：联系新知与旧知，总结概括出判断直线与圆相切的三种方法，为解决实际问题提供思路。3. 运用判定定理解决实际问题B例1:如图，AB是O的直径，ABT45，ATAB.求证：AT是O的切线.TA师生活动：教师引导从求证出发，要想证明直线是圆的切线需要满足两个条件，题目已知过半径外端，只需证明AT与半径垂直即可。设计意图：通过例1，巩固判定定理中的两个重要条件。例2:如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是O的切线。变式: 如图,OA=OB5，AB=8, O的直径为6. 求证:直线AB是O的切线.师生活动：通过教师引导，学生独立完成例2和变式，体会两种证法的不同之处。帮助学生总结不同题目条件下所添加辅助线的不同方法。即“有公共点时，连半径，证垂直”，“无公共点时，作垂直，证半径”。设计意图：教师给出两个相似的图形，对比得出不同条件下添加辅助线的不同方法。再次强化判定定理中的两个必要条件，缺一不可。3. 探索切线的性质定理问题5: 能不能写出判定定理的逆命题？师生活动：学生回答，如果一条直线是圆的切线，那么这条直线垂直于半径。教师追问：垂直于任何一条半径吗？（学生回答：垂直于过切点的半径。）教师帮助总结性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。教师追问：如何证明这个结论？ 教师引导学生发现要证明的情况只是垂直一种，如果不能从已知出发得到结论，可以考虑用反证法。如果学生不能顺利说出证明过程，教师可以进行引导：假设OA与直线l不垂直，过点O作OMl，根据垂线段最短的性质，又OMOA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l就与圆相交，而这与直线l是O的切线矛盾。因此，OA与直线l垂直。从而得到切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。教师追问：定理的题设和结论是什么？（学生回答：题设是一条直线是圆的切线，结论是这条直线垂直于过切点的半径）设计意图：利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法的作用，但对于这个证明只需让学生知道即可，部分学有余力的同学可以要求口头表述。4. 运用定理解决实际问题Al1例3: 如图，AB是O的直径，直线l1，l2是O的切线，A、B是切点，l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论。l2B师生活动：教师引导，题目条件中有l1，l2是O的切线，直接通过性质定理得出l1AB，l2AB。教师追问：如何得出l1，l2的位置关系？（学生回答：l1/l2。）教师追问：你的根据是什么？（学生回答：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。）设计意图：通过例3，巩固切线的性质定理。例4：已知：ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D. 求证： AC 是O 的切线师生活动：教师提问：（1） 证明切线有几种方法？最易于操作的是哪种？（切线的判定定理）（2） 用切线的判定定理需要满足几个条件？（两个）这两个条件已知中有吗？（没有）题目中既没有半径又没有垂直，就需要由O点作AC的垂线段OE，证明OE是O的半径，这样两个条件均满足，即可证明AC是O的切线。（3） 充分挖掘已知条件，尤其是已知中的AB与O相切，你能得到什么结论？（连接OD，OD是半径且ODAB）要想证明OE是半径，只需证明OE=OD即可。老师点拨后，学生先分组讨论，然后独立完成解题过程，在解题时遇到的困难教师给予指导。最后通过展台，由一位学生展示解题过程。学生讲解后，教师进行升华总结，得到两条经验：如果直线与圆的公共点没有确定，需要过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。这样的添辅助线的方法叫做“作垂直，证半径”。如果已知直线是圆的切线，只要连接半径，得出直线垂直于半径即可，即“连半径，得垂直”。设计意图：这道题结合了切线的性质定理和判定定理，是一道比较综合的题目。并且通过运用性质定理解决问题，得到“连半径，得垂直”的辅助线添加方法。5. 小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1） 切线的判定定理和性质定理是什么？它们有怎样的联系？（2） 在应用性质定理解题时，需要反馈什么结论？在应用判定定理解题时，需要如何添加辅助线？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心