高二数学3.4基本不等式(1)课件新人教版.ppt

一 引入 探究问题下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗 一 引入 探究问题下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗 a b 设ae a be b 则正方形abcd的面积是 这4个直角三角形的面积之和是 a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 二 新课 结论 文字叙述为 两数的平方和大于或等于它们积的2倍 一般地 对于任意实数a b 总有 当且仅当a b时 等号成立 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 二 新课 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 执果索因 几何意义 半径不小于半弦 如图 ab是圆的直径 c是ab上任一点ac a cb b 过点c作垂直于ab的弦de 连ad bd 则cd 半径为 二 新课 对基本不等式的几何意义作进一步探究 基本不等式 注意 1 不等式使用的条件不同 2 当且仅当a b时取等号 3 叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 均值不等式 二 新课 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短最短的篱笆是40m 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 三 例题 例1 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 三 例题 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 18 2 9 得xy 81 当且仅当x y 即x y 9时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81m2 结论2 两个正数和为定值 则积有最大值 最值定理 若x y皆为正数 则 1 当x y的值是常数s时 当且仅当x y时 xy有最大值 2 当xy的值是常数p时 当且仅当x y时 x y有最小值 注意 各项皆为正数 和为定值或积为定值 注意等号成立的条件 一 正 二 定 三 相等 和定积最大 积定和最小 三 例题 注 应用此不等式关键是配凑和一定或积一定 2 1 四 练习 2 当x 0时 的最小值为 此时x 思考 当x 0时表达式又有何最值呢 3 x 1 当x取什么值时 的值最小 最小值是多少 1 已知x 0 y 0 1 若xy 36 则x y的最小值是 此时x y 2 若x y 18 则xy的最大值是 此时x y 3 若x 2y 4 则xy的最大值是 此时x y 2 2 1 12 6 6 81 9 9 本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用1 两个重要的不等式 1