数学人教版九年级上册垂直于弦的直径.doc

垂径定理（第一课时）教学设计黄建松【教学内容】人教版24.1.2垂直于弦的直径【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； 掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； 向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； 激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。【教学设计】一、实例导入，激疑引趣 1实例：同学们,请看大屏幕，大家认识它吗？对，这是赵州石拱桥，小学就学过一篇课文赵州桥。让我们一起观看2分钟的短片。（播放短片2分钟，一方面进行爱国主义教育，一方面激发探究的兴趣，导入新课）2导入：赵州桥非常雄伟，这是我们根据大桥主体抽象后的图形。（白板呈现右上图，数据暂不标注）。 师：赵州桥抽象后的模型呈什么形状？（拱形、圆弧形、弓形） 思考：它的雄伟之处在于它的跨度大，（弧所对的弦长）达37.4米，拱形高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高），达7.2米。请设想一下，当初设计者李春面临着哪些困难？（先不讨论建造工程上的困难，以我们数学的思维来思考：如何确定圆心，如何计算圆的半径，这些都是几何难题。） 师：你能解决这些数学问题吗？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 二、尝试诱导，发现定理1、定圆心，并探究圆的对称性 （1）师：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?（用事先准备的圆形纸片折叠操作，得到圆心。） 思考：由此，我们能得到圆的什么特性？（圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴） （2）师：你能证明圆是轴对称图形吗?（引导：这个问题可以转化为，在圆上任意取一个点，你能找到它的对称点吗？） 猜想实验：让学生对圆形纸片进行折叠，找到对称点 也可以让学生在圆形纸片上，通过作图的方法找出对称点。 几何论证： 师：我们这样做的依据是什么？你能证明吗？（引导学生证明：由等腰三角形的“三线合一”性质，可以说明，一对对应点关于直径所在的直线对称，再由所取点的任意性，可以证明圆是轴对称图形。）2、 深入思考（让学生完成活动二，自主探究后，师生交流） （1）师：在刚才操作的图形中，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ （2）师：当弦AB上下平移时，结论还会变化吗？ （3）师：当弦AB与直径CD不垂直时,以上结论是否仍成立？ 3、归纳总结： （1）课件中演示，圆能沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，我们把这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。（板书课题） （2）由刚才的讨论，你能得到垂直于弦的直径的什么性质呢？请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。三、深入思考，巩固定理，1理解定理：思考1：此定理的条件和结论分别是什么？思考2：垂径定理如何用几何语言来表达？ 师生交流总结垂径定理的三种语言表达。 师：同学们要熟练掌握三种语言的相互转化，应用定理才能灵活自如。2巩固定理：在下列图形（如图4(a)(d)）中，AB是O的弦，CD是O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。(a)ABCD于E (b)E是AB中点 (c)OCAB于E (d)OEAB于E（图4） 向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。四、例题示范，变式练习1运用定理进行计算。（自主练习，小组交流，班级展示，点拨提高）练习一如图，在O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。练习二如图，若O的半径为10cm, OE=6cm,求AB的长。 学生活动，完成板演。 思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d， 则R、a、d三者之间的关系式是 。思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（出示示意图，口述方法）五、师生小结，纳入系统1定理的三种基本图形如图10、11、12。2计算中三个量的关系如图13，。3证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。（图10） （图11） （图12） （图13） 五、检测反馈，分层提高 （A 组做1-3题，B组做4-7题） 1、如图1，直径AB垂直于弦CD，垂足为M， 则（1）相等的线段有 ，相等的劣弧有 ；（2）若AB10，CD8，则OM . 2、如图2，O的直径AB与弦CD相交于E，且弧BC=弧BD，CD6，AB8，则EB的长为 . 3、如图3，已知O的半径为5mm，弦AB=8mm, 则圆心O到AB的距离是 . 图1 图2 图34、如图4，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB10cm，CD6cm，则AC的长为 cm.5、如图5，ABC为O的内接三角形，O为圆心，ODAB，垂足为D，OEAC，垂足为E，若DE=3，则BC=_.6、如图6，矩形