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抛物线及其标准方程 抛物线及其标准方程 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于一个常数e的动点的轨迹 当01时轨迹是 创设情景 椭圆 双曲线 当e 1时轨迹是 抛物线的定义 结合椭圆 双曲线第二定义 得出抛物线的定义 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线定点f叫焦点 定直线l叫准线 由抛物线定义求标准方程 求标准方程 前提要建立适当的坐标系 1 2 3 y2 2px p2 y2 2px p2 y2 2px 抛物线的四种标准方程 y2 2px p 0 p为焦点到准线的距离表示如图顶点在原点 焦点为 0 准线方程x 的抛物线的标准方程 即开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 y2 2px焦点 0 准线方程x x2 2py焦点 0 准线方程y x2 2py焦点 0 准线方程y x y o y x 四种抛物线标准方程的特点 如何判断焦点在什么位置 看标准方程的一次项是x y 则焦点在x y 轴如果一次项系数为正 焦点在正半轴如果一次项系数为负 焦点在负半轴 抛物线及其标准方程 例1已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 解 1 由题意知 2p 6 p 3 开口向右焦点坐标 0 准线方程 x 抛物线及其标准方程 例2 已知抛物线焦点坐标 0 2 求它的标准方程 解 焦点在轴的负半轴 可设标准方程为 x2 2py 2 p 4 即所求方程为x2 8y 抛物线及其标准方程 随堂练习求下列抛物线方程的焦点坐标和准线方程 1 y2 8x 2 x2 4y 3 2y2 3x 0 4 6y x2 焦点坐标 2 0 准线方程 x 2 焦点坐标 0 1 准线方程 y 1 焦点坐标 3 8 0 准线方程 x 3 8 焦点坐标 0 3 2 准线方程 y 3 2 抛物线及其标准方程 例3 求经过点a 2 3 的抛物线的标准方程 解 点a 2 3 在第四象限 可设抛物线的标准方程为 y2 2px或x2 2py把a 2 3 代入y2 2px 得p 把a 2 3 代入x2 2py 得p 所求抛物线方程为 2y2 9x或3x2 4y 抛物线及其标准方程 练一练 求焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程 解 由题意知 抛物线的标准方程可设为 y2 2px或y2 2px或x2 2py或x2 2py因为p 2所以抛物线的标准方程是 y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y 抛物线及其标准方程 本课小结抛物线的定义 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线 定点f叫抛物线的焦点 定直线l叫抛物线的准线 p为定点f到定直线l的距离 平面内到定点f和定直线l的距离之比等于常数e 当0 e 1时 轨迹为椭圆 当e 1时 轨迹为抛物线 当e 1时 轨迹为双曲线 这就是圆锥曲线的统一定义 抛物线的四种标准方程 y2 2px
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