2014世纪金榜第四章 第五节.ppt

第五节数系的扩充与复数的引入 1 复数的有关概念 1 定义 形如a bi a b R 的数叫做复数 其中 是a 是b 2 分类 复数a bi a b R 实数 b 虚数 b 0 纯虚数 a 非纯虚数 a 0 实部 虚部 0 0 3 复数相等 a bi c di a b c d R 4 共轭复数 a bi与c di共轭 a b c d R 5 复数的模 向量的长度叫做复数z a bi的模 记作 或 即 z a bi a b R z a bi 2 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d R 则 加法 z1 z2 a bi c di 减法 z1 z2 a bi c di 乘法 z1 z2 a bi c di 除法 c di 0 a c b d i a c b d i ac bd ad bc i 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 C 都有z1 z2 z1 z2 z3 3 复数的几何意义 1 复平面的概念 建立 来表示复数的平面 2 实轴 虚轴 在复平面内 x轴叫做 y轴叫做 实轴上的点都表示 除了原点外 虚轴上的点都表示 z2 z1 z1 z2 z3 直角坐标系 实轴 虚轴 实数 纯虚数 3 复数的几何表示 复数z a bi复平面内的点 平面向量 一一对应 Z a b 一一对应 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 方程x2 x 1 0没有解 2 复数z a bi a b R 中 虚部为bi 3 复数中有相等复数的概念 因此复数可以比较大小 4 原点是实轴与虚轴的交点 5 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离 也就是复数对应的向量的模 解析 1 错误 在实数范围内 方程x2 x 1 0没有实数解 但在复数范围内 此方程有解 且解为 故不正确 2 错误 根据复数的概念 在复数z a bi中 虚部应为b 故不正确 3 错误 只有当两个复数都为实数时 它们才能比较大小 其他情况不能比较大小 故不正确 4 正确 原点在实轴上 也在虚轴上 故正确 5 正确 根据复数的几何意义可知此结论正确 答案 1 2 3 4 5 1 已知a R 若 1 ai 3 2i 为纯虚数 则a 解析 1 ai 3 2i 3 2a 2 3a i为纯虚数 故得a 答案 2 复数 i是虚数单位 的实部是 解析 实部为答案 3 若a b R i为虚数单位 且 a i i b i 则a b 解析 由 a i i b i 得 1 ai b i 根据复数相等得 a 1 b 1 答案 1 1 4 已知i为虚数单位 则复数对应的点位于第 象限 解析 故复数对应的点为 位于第三象限 答案 三 5 已知复数z1 1 2i z2 1 i z3 3 2i 它们所对应的点分别为A B C 若 O为原点 则x y 解析 由得 3 2 x 1 2 y 1 1 解得故x y 5 答案 5 6 设z1是复数 z2 z1 i 其中表示z1的共轭复数 已知z2的实部是 1 则z2的虚部为 解析 设z1 x yi x y R 则z2 x yi i x yi x y y x i 故有x y 1 则y x 1 答案 1 考向1复数的概念 典例1 1 2012 江西高考改编 若复数z 1 i i为虚数单位 是z的共轭复数 则z2 的虚部为 2 2012 湖南高考 已知复数z 3 i 2 i为虚数单位 则 z 3 2013 无锡模拟 已知a b R i是虚数单位 若 a 2i i b i 则a b的值是 思路点拨 规范解答 1 因为z 1 i 所以 1 i 1 i 2 1 i 2 2i 2i 0 故虚部为0 答案 0 2 由条件得z 3 i 2 9 6i 1 8 6i z 答案 10 3 a 2i i b i 即ai 2 b i a b 1 答案 1 互动探究 本例题 1 的条件不变 则的实部是 解析 由例 1 的解题过程可得 故实部是0 答案 0 拓展提升 解答复数概念题的两个关注点 1 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 只需把复数化为代数形式 确定出实部 虚部即可 2 复数z a bi a b R 的模 z 实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离 z1 z2 的几何意义是复平面上的点Z1 Z2两点间的距离 变式备选 1 若复数 a R i为虚数单位 是纯虚数 则实数a 解析 复数是纯虚数 a 6 答案 6 2 已知a R 复数z1 2 ai z2 1 2i 若为纯虚数 则复数的虚部为 解析 为纯虚数 a 1 故的虚部为1 答案 1 考向2复数的几何意义 典例2 1 在复平面内 向量对应的复数是2 i 向量对应的复数是 1 3i 则向量对应的复数是 2 2013 常州模拟 在复平面内 复数对应的点位于第 象限 3 已知f x x2 i是虚数单位 则在复平面内复数对应的点在第 象限 思路点拨 1 根据复数加法的几何意义求解 2 先把复数化为a bi的形式 再判断对应的点所在的象限 3 求出复数再判断对应的点所在的象限 规范解答 1 向量对应的复数是2 i 则对应的复数是 2 i 对应的复数是 1 3i 2 i 3 4i 答案 3 4i 2 z对应的点位于第四象限 答案 四 3 故复数对应的点是 在第一象限 答案 一 拓展提升 复数几何意义的理解及应用 1 理解 复数z 复平面上的点Z及向量相互联系 即z a bi a b R Z a b 2 应用 由于复数 点 向量之间建立了一一对应的关系 因此可把复数 向量与解析几何联系在一起 解题时可运用数形结合的方法 使问题的解决更加直观化 变式训练 1 已知i是虚数单位 则复数z i 2i2 3i3所对应的点落在第 象限 解析 z i 2i2 3i3 i 2 3i 2 2i 对应的点是 2 2 即落在第三象限 答案 三 2 已知复数的对应点在复平面的第二 四象限的角平分线上 则实数a 解析 已知复数由题意知a 1 1 解得a 2 答案 2 考向3复数代数形式的四则运算 典例3 1 2012 辽宁高考改编 复数 2 2012 安徽高考改编 复数z满足 z i i 2 i 则z 3 若z cos isin i为虚数单位且0 则使z2 1成立的 值是 思路点拨 1 将复数进行分母实数化 根据复数代数形式的四则运算法则计算 2 将等式化简 根据复数代数形式的四则运算法则进行计算 3 先求出z2 再根据条件得到关于 的三角函数关系式 验证求解即可 规范解答 1 答案 2 z i i 2 i z 答案 1 i 3 z2 cos isin 2 cos2 isin2 1 cos2 1 sin2 0 k k Z 又 0 答案 拓展提升 1 复数四则运算的解答策略复数的加法 减法 乘法运算可以类比多项式的运算 除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 注意要把i的幂写成最简形式 2 几个常用结论 1 1 i 2 2i 2 b ai i a bi 3 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0 n N 变式训练 1 2012 天津高考改编 i是虚数单位 复数 解析 答案 2 i 2 复数z 1 i 为z的共轭复数 则z z 1 解析 依题意得z z 1 1 i 1 i 1 i 1 i 答案 i 创新体验 复数中的新定义问题 典例 2013 广州模拟 在实数集R中 我们定义的大小关系 为全体实数排了一个 序 类似地 我们在复数集C上也可以定义一个称为 序 的关系 记为 定义如下 对于任意两个复数z1 a1 b1i z2 a2 b2i a1 a2 b1 b2 R z1 z2当且仅当 a1 a2 或 a1 a2且b1 b2 按上述定义的关系 给出如下四个命题 若z1 z2 则 z1 z2 若z1 z2 z2 z3 则z1 z3 若z1 z2 则对于任意z C z1 z z2 z 对于复数z 0 若z1 z2 则zz1 zz2 其中真命题的序号为 思路点拨 规范解答 对于复数z1 2 i z2 1 3i显然满足z1 z2 但 z1 z2 不满足 z1 z2 故 不正确 设z1 a1 b1i z2 a2 b2i z3 a3 b3i 由z1 z2 z2 z3可得 a1 a3 或 a1 a3且b1 b3 故 正确 设z1 a1 b1i z2 a2 b2i z a bi 由z1 z2可得 a1 a2 或 a1 a2且b1 b2 显然有 a1 a a2 a 或 a1 a a2 a且b1 b b2 b 从而z1 z z2 z 故 正确 对于复数 z1 2 i z2 1 3i显然满足z1 z2 令z 1 i 则zz1 1 i 2 i 1 3i zz2 1 i 1 3i 4 2i 显然不满足zz1 zz2 故 错误 综上 正确 答案 思考点评 1 方法感悟 本题体现了类比方法的运用 即通过类比的方式 给出了复数中与实数类似的结论 借以考查阅读理解和应用新知识解决问题的能力 这种类比的方法在数学中可以帮助我们得到一些新的结论 2 技巧提升 利用复数与实数的类比来命题是一个新的考查方向 主要以给出新概念或新运算为主 用来考查学生的阅读理解 应用新知识解决问题的能力 从实质上看 此类问题考查的还是基础知识和基本技能 解题的关键是抓住新概念或新运算的特征 对所给的新信息进行分析 并且将所给信息与所学知识相结合 1 2013 淮安模拟 设复数 i为虚数单位 则复数z的虚部是 解析 z的虚部是 1 答案 1 2 2013 徐州模拟 已知i为虚数单位 则复数的模等于 解析 答案 1 3 2013 南京模拟 已知复数z1 1 i z2 2 i 那么z1 z2的值是 解析 z1 z2 1 i 2 i 2 i 2i 1 3 i 答案 3 i 4 2012 新课标全国卷改编 复数的共轭复数是 解析 故z的共轭复数为 1 i 答案 1 i 5 2012 陕西高考改编 设a b R i是虚数单位 则 ab 0 是 复数为纯虚数 的 条件 解析 若ab 0 则a 0或b 0 是纯虚数或实数 不是充分条件 若复数为纯虚数 则 a 0且b 0 ab 0 是必要条件 答案 必要不充