高中数学数列知识点总结_经典.pdf

1 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1 等差数列的定义与性质 定义 n 1n aad d 为常数 n1 aa n 1 d 等差中项 a b c 成等差数列2bac 前n项和 1n n1 aa nn na Snad 22 性质 n a是等差数列 1 若 m n p q 则 mnpq aaaa 2 数列 1221 2 nnn aaa仍为等差数列 n2nn3n2n SSSSS LL 仍为等差 数列 公差为dn2 3 若三个数等差数列 可设为 a d a a d 4 若 nn ab 是等差数列 且前n项和分别为 nn ST 则 m2m 1 m2m 1 aS bT 5 n a为等差数列 2 n Sanbn ab 为常数 是关于n的常数项为 0 的二 次函数 n S 的最值可求二次函数 2 n Sanbn 的最值 或者求出 n a中的正 负分界项 即 当 1 a0d0 解不等式组 n n 1 a0 a0 可得 n S 达到最大值时的n值 当 1 a0d0 由 n n 1 a0 a0 可得 n S 达到最小值时的n值 6 项数为偶数 n2 的等差数列 n a 有 111 22212 为中间两项 nnnnnnn aaaanaanaanSL ndSS 奇偶 1 n n a a S S 偶 奇 7 项数为奇数1 2n的等差数列 n a 有 1 2 1 2 为中间项 nnn aanS n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 2 等比数列的定义与性质 定义 n 1 n a q a q为常数 q0 n 1 n1 aa q 等比中项 a b c 成等比数列 2 bacac 或b 前n项和 1 n 1 na q1 a 1 q q1 1 q 要注意 性质 n a是等比数列 1 若 m n p q 则 mnpq aaaa 2 n2nn3n2n SSSSS LL 仍为等比数列 公比为 n q 注意注意 由 n S 求 n a 时应注意什么 n 1 时 11 aS n2 时 nnn 1 aSS 3 求数列通项公式的常用方法 1 求差 商 法 如 数列 n a 12n 2n 111 aaa2n5 222 LLLL 求 n a 解 解 n 1 时 1 1 a2 1 5 2 1 a14 n2 时 令数列只有 n 1 项 则 12n 1 2n 1 111 aaa2 n1 5 222 LLLL 得 n n 1 a2 2 n 1 n a2 n n 1 14 a 2 n2 n 1 2 叠乘法 如 数列 n a中 n 1 1 n an a3 an 1 求 n a 解 解 32n 12n 1 aaa1 2n 1 aaa2 3n LLL n 1 a1 an 又 1 a3 n 3 a n PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 3 3 等差型递推公式 已知函数yf x N x nn 110 aaf n aa 求 n a 用迭加法 n2 时 21 32 nn 1 aaf 2 aaf 3 aaf n LL 等式两边相加得 n1 aaf 2 f 3 f n L n0 aaf 2 f 3 f n L 4 等比型递推公式 已知 nn 1 acad cd 为常数 c0c1d0 求 n a 的通项公式 解 设 nn 1nn 1 axc ax ca c 1 x 整理得a 令 c 1 xd d x c 1 n d a c 1 是首项为 1 d a c 1 c 为公比的等比数列 n 1 n1 dd a a c c 1c 1 n 1 n1 dd a a c c 1c 1 5 倒数法 如 已知 n 1n 1 n 2a a1 a a2 求 n a 由已知得 n n 1nn a2111 a2a2a n 1n 111 aa2 n 1 a 为等差数列 首项 1 1 1 a 公差 d 1 2 n 111 1 n 1 n 1 a22 n 2 a n 1 小结 求 n a的通项 一般使用公式法 利用 1 n nn 1 S n1 a SS n2 累加法 累乘法 构造等差或等比数列 1 nn apaq或 1 nn apaf n 待定系数法 对数变换法 迭代 法 数学归纳法 换元法 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 4 4 求数列前 n 项和的常用方法 1 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和 使之出现成对互为相反数的项 如 n a是公差为d 的等差数列 求 n k 1 kk 1 1 aa 解 解 由 kk kk 1kkkkkk 1 1 ad a 11111 d aaa ad a ad d aa nn k 1k 1 kk 1kk 11223nn 1 11111111111 aad aadaaaaaa L 1n 1 111 daa 2 错位相减法 若 n a为等差数列 n b为等比数列 求数列 nn a b 差比数列 前n项和 可由 nn SqS 求 n S 其中q为 n b的公比 如 23n 1 n S1 2x3x4xnx L 234n n xSx2x3x4xnx L 得 n 23n 1nn n 1 x 1 x S1 xxxxnxnx 1 x L 当x1 时 nn n 2 1 x nx S 1 x 1x x1 时 n n n 1 S1 2 3n 2 L 3 倒序相加法 把数列的各项顺序倒写 再与原来顺序的数列相加 n12n 1n nnn 121 Saaaa Saaaa L L 相加 n1n2n 1n 12n1 2S aa aa aa aa L PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 5 小结 a 用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列 an 与首末项等距的两项之和等于首末两项之和 可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加 就得到一个常数列的和 这一求和方法称为倒序相加法 我们在学知识时 不但要知其果 更要索其因 知识的得出过程是知识的源头 也是 研究同一类知识的工具 例如 等差数列前 n 项和公式的推导 用的就是 倒序相加法 b 用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列 等比数列 求前 n 项和 Sn可直接用等差 等比数列的前 n 项和公式 进行求解 运用公式求解的注意事项 首先要注意公式的应用范围 确定公式适用于 这个数列之后 再计算 c 用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项 使得前后项相抵消 留下有限项 从 而求出数列的前 n 项和 一般通项有以下特征可用此法 分子相等 分母为两多项式 相乘且该两多项式的差为常数 d 用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法 应用于等比数列与等差数列相乘的形式 即若在数列 an bn 中 an 成等差数列 bn 成等比数列 在和式的两边同乘以公比 再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和 e 用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列 an 满足 an 1 an f n 其中 f n 是等差数列或等比数列的条 件下 可把这个式子变成 an 1 an f n 代入各项 得到一系列式子 把所有的式子加 到一起 经过整理 可求出 an 从而求出 Sn f 用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列 也不是等比数列的数列