高中数学第二章2.4向量的应用2.4.2向量在物理中的应用示范教案.docx

2.4.2 向量在物理中的应用示范教案教学分析向量与物理学天然相联向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究用向量研究物理问题的相关知识(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积用向量知识研究物理问题的基本思路和方法通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用三维目标1通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识2通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力体会数学在现实生活中的重要作用养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯重点难点教学重点：1运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算2归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题课时安排1课时导入新课思路1.(情景引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系章头引言说明了向量的研究对象及研究方法那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用由此自然地引入新课推进新课(1)力向量与前面所学的自由向量一样吗？(2)作用于同一点的两个力的合力怎样表示？活动：力向量与前面学过的自由向量有些不同，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的但力是具有大小和方向的量，在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算例如，求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则(图1)图1同一平面上，作用于同一点的两个力F1，F2或三个力F1，F2，F3处于平衡状态(图2)，可分别用等式来表示图2F1F20，F1F2F30.讨论结果：(略)例 1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图3所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题只要分析清楚F、G、三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释图3在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、之间在变化过程中所产生的相互影响由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证用向量解决物理问题的一般步骤是：问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；参数的获得，即求出数学模型的有关解理论参数值；问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象解：不妨设|F1|F2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos|F1|.通过上面的式子，我们发现：当由0到180逐渐变大时，由0到90逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现例 2河水从东向西流，流速为2 m/s，一轮船以2 m/s垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速(精确到0.1 m/s)(图4)图4解：设a“向西方向，2 m/s”，b“向北方向，2 m/s”，则|ab|22.8(m/s)由|a|b|，可得ab的方向为西北方向答：轮船实际航行速度为“向西北方向，2.8 m/s”活动：本例通过速度向量，说明向量的应用，其实向量在电学、力学、工程和机械等各学科中都有着十分广泛的应用.变式训练某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当其速度变为40 km/h时，他又感到风从西南方向吹来，求实际的风向和风速解：如图5所示设v1表示20 km/h的速度，在无风时，此人感到的风速为v1，实际的风速为v，那么此人所感到的风速为v(v1)vv1.图5令v1，2v1，实际风速为v.，vv1，这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度，v2v1，这就是当车的速度为40 km/h时，骑车人感受到的风速由题意得DCA45，DBAB，ABBC，DCA为等腰三角形，DADC，DACDCA45.DADCBC20.|v|20 km/h.答：实际的风速v的大小是20 km/h，方向是东南方向.例 3如图6所示，利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度，设有一砂箱悬挂在两线下端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M，求子弹的速度v的大小图6解：设v0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒，所以m|v|(Mm)|v0|.由于机械能守恒，所以(Mm)v(Mm)gh.联立解得|v|.又因为m相对于M很小，所以|v|，即子弹的速度大小约为.1与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；参数的获得，即求出数学模型的有关解理论参数值；问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象2与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型力、速度、加速度、位移都是向量；力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；)动量mv是数乘向量，冲量tF也是数乘向量；功是力F与位移s的数量积，即WFs.课本本节练习B组1、2、3；习题24A组4.1本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题2经历是最好的老师充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点3突出数形结合的思想教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性一、向量与重心问题假如有两个质点M1，M2，它们的质量分别是m1，m2，由物理学知识，这两个质点的重心M在线段M1M2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即，或m1m2.现设点M1、M2、M，对应的向量分别是r1、r2、r，则上式可以写成m1(rr1)m2(r2r)所以r，点M处的质量为m1m2.现求三个质点的重心问题三个质点M1、M2、M3的质量分别是m1、m2、m3，所对应的向量分别是r1、r2、r3，我们可设M1，M2的重心在点D处，该处对应的向量为rD，该点的质量为m1m2，然后求点D与点M3的重心M所对应的向量r，易得r.二、备用习题1作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|5，|F2|3，夹角为60，则F1F2的大小为_2一条渔船距对岸为4 km，现正以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，求河水的流速. 3在半径为15 cm的均匀铁板上，挖出一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm，圆洞的半径是5 cm，求挖去圆洞后所剩下铁板的重心4如图7所示，重力为G的均匀小球放在倾角为的斜面上，球被与斜面夹角为的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板的压力最小，求木板与斜面间夹角的大小. 图7参考答案：172解：如图8所示，设表示船垂直于对岸的速度，则，图8知就是渔船实际航行的速度因为航行的时间为422(h)，所以在RtABC中，|A|2 km/h，|824(km/h)，则|B|2 km/h.答：河水的流速为2 km/h.3解：如图9所示，建立平面直角坐标系，两圆的圆心分别为O1(0,0)，O2(8,0)，圆O2是挖去的圆，不妨设铁板的密度为1，则小圆的质量m125，挖去圆洞后，铁板的质量为m2(22525)200，设所求的重心为O3.图9根据物理学知识，知