河北省承德市兴隆县青松岭镇中学高一数学理测试题含解析

河北省承德市兴隆县青松岭镇中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.边长为5的菱形，若它的一条对角线的长不大于6，则这个菱形对角线长度之和的最大值是（

）（A）16

(B)

(C)

14

(D)

参考答案：C2.设，向量，若，则m等于(

)A. B. C.－4 D.4参考答案：D【分析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为，且，所以，化为，解得，故选D.【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.3.正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】取AD中点F，通过中位线平移BD可得到所求角为，利用余弦定理可求得所求角的余弦值.【详解】取AD中点F，连接分别为中点

异面直线与所成角即为与所成角设正四面体棱长为，即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：D【点睛】本题考查求解异面直线所成角的问题，关键是能够通过平移找到所求角，再结合解三角形的知识求解得到结果.4.设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c的大小关系是

(

)

A．a>b>c

B．b>a>c

C．c>a>b

D．a>c>b参考答案：B5.已知集合，那么

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知集合，，下列不表示从到的映射的是（

）

参考答案：B略7.下列各组的两个向量共线的是A．

B．C．

D．参考答案：D略8.设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[5.5]=5，[一5.5]=﹣6），则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为（）A．（2，3） B．[2，4） C．[2，3] D．（2，3]参考答案：B【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先将[x]看成整体，利用不等式[x]2﹣5[x]+6≤0求出[x]的范围，然后根据新定义[x]表示不超过x的最大整数，得到x的范围．【解答】解：不等式[x]2﹣5[x]+6≤0可化为：（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0解得：2≤[x]≤3，所以解集为2≤[x]≤3，根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为：2≤x＜4故选B．9.已知，，且，则向量与向量的夹角为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．【详解】，即：又，向量与向量的夹角的余弦为，向量与向量的夹角为：故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．10.将函数y=sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点中心对称（）A．向左平移单位 B．向左平移单位C．向右平移单位 D．向右平移单位参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】设出将函数y=sin（2x+）的图象向左平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．【解答】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象向左平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）的图象，再根据y=sin（2x+2ρ+）的图象关于点（﹣，0）中心对称，∴将x=﹣代入，得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0，∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，k∈Z，当k=0时，ρ=﹣，即实际向右平移个单位，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是__________.参考答案：(0,1)【分析】画出函数f(x)的图像，根据f(x)图像与有三个交点，求得的取值范围.【详解】画出f(x)的图像如下图所示，要使方程有三个不同的实数根，则需f(x)图像与有三个交点，由图可知，的取值范围是.故答案为：(0,1)【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.12.已知梯形ABCD中，AB＝8，BC＝4，CD=5，BC⊥AB，AB∥CD，动点P由B点出发，沿BC、CD、DA运动到A点，若用x表示点P运动的路程，表示△ABP的面积，则＝

;参考答案：13.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f的值是()A．0

B.

C．1

D.参考答案：A14.已知，则的最小值为

．参考答案：，当且仅当时取等号。15.∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为．参考答案：45°【考点】直线与平面所成的角．【分析】设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D，连接OP，OC，OD，根据，∠ACB=90°，平面ABC外一点P满足PC=4，P到两边AC，BC的距离都是2cm，我们分别求出CD，OD，OP的长，进而解出∠PCO的大小，即可得到PC与平面ABC所成角的大小．【解答】解：设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D，连接OP，OC，OD，如图所示：则∠PCO即为PC与平面ABC所成角的平面角∵P到两边AC，BC的距离都是2cm，故O点在∠ACB的角平分线上，即∠OCD=45°由于PC为4cm，PD为2cm，则CD为2cm．则△PCD在底面上的投影△OCD为等腰直角三角形．则OD=CD=2，然后得CO=2cm，根据勾股定理得PO=2cm=CO，∴∠PCO=45°．故答案为：45°．16.等差数列中，则_________.参考答案：10略17.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x，则函数f（x），x∈R的解析式为f（x）=

．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】当x＞0时，﹣x＜0，结合已知中当x≤0时，f（x）=x2+2x，及f（x）=﹣f（﹣x）可得函数的解析式．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x，综上所述，f（x）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）已知=-1,求下列各式的值.

(1)tanα

(2)sin2α+sinαcosα+1参考答案：略19.已知，.（1）若a=1，求A∪B；（2）若AB，求实数a的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ），当时，

（Ⅱ）由题意可知，得

20.数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn＞0时，求n的最大值．参考答案：

(1)由已知a6=a1＋5d=23＋5d＞0，a7=a1＋6d=23＋6d＜0，解得:－＜d＜－，又d∈Z，∴d=－4(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23＋

(－4)=78(3)Sn=23n＋

(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0∴0＜n＜，又n∈N*，所求n的最大值为12.略21.(本小题满分13分)如图，有一块矩形草地，要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育设施（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，阴影部分面积为y.（1）求y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当x为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？参考答案：（1）SΔAEH＝SΔCFG＝x2，SΔBEF＝SΔDGH＝(a－x)(2－x)。

∴y＝SABCD－2SΔAEH－2SΔBEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x。

...............5分∴y＝－2x2＋(a＋2)x，函数的定义域为.

..............6分（2）当，即a<6时，则x＝时，y取最大值。当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4.

...............12分综上所述：当a<6时，x＝时，阴影部分面积最大值是；当a≥6时，x＝2时，阴影部分面积最大值是2a－4.

...............13分略22.（本小题12分）如图，在三棱锥S－ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC，SA，SC的中点．(1)求证：EF∥平面ABC；(2)若SA＝SC，BA＝BC，求证：平面SBD