数学人教版九年级下册反比例函数中的面积问题探究与应用.doc

课题：反比例函数中的面积问题探究与应用开课人：张宁教学目标 一、认知目标：掌握反比例函数解析式中比例系数K的几何意义。从而解决已知图形面积来确定反比例函数解析式，或已知函数解析式求相关的矩形、平行四边形、三角形等的面积问题。 二、能力目标：渗透数形结合，转化等数学思想。 三、情感目标：通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。教学的重点、难点 一、教学重点：利用反比例函数解析式中比例系数K的几何意义解决一些图形面积问题。 二、教学难点：利用反比例函数解析式中比例系数K的几何意义，能够灵活解决一些图形面积问题。并会进行比例系数K和面积之间的熟练转化。教学设计一、 引言：教师：大家看这张背景图片，这是巴西利亚大教堂，它的整体造型呈双曲线型，生活中的很多建筑都体现出了曲线的美。最近我们在学习反比例函数，由于反比例函数解析式 （k0)及其图象的特殊性，很多试题都将反比例函数与面积问题结合起来进行考察，这种考察既能考察反比例函数函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合思想，所以今天我们专门来研究一下反比例函数中的面积问题。二、提出问题教师：首先请看这样一个问题：要构造一个面积为12的矩形，它的长x和宽y有什么样的关系？教师：能举几个具体的数值吗？教师：我们将大家所举的具体数值以点的坐标的形式描在平面直角坐标系上，大约是这样，对吗？那么如果我们把这些点顺次连接起来，呈一个什么形状呢？我们发现当面积为定值时，矩形的长和宽呈反比例函数，双曲线形状。现在如果已知反比例函数在第一象限的图象，是否存在这样的面积为定值的矩形呢？三、合作探究活动1：设P(m,n)是双曲线（k0）上任意一点过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是A、B,则 (如图所示）P(m,n)AoyxB(反比例系数的几何意义学生基本都能掌握，再复习一下，作为本节课的起点)如果将这个函数在第三象限的一支补出来，还有这样的结论吗？如果图象在二、四象限呢？由于面积是非负数，所以要注意k加绝对值，这就是反比例函数中系数的几何意义，也就是我们今天研究的重点。活动2：教师：回到刚才第一象限这个矩形，连接OP，得到了什么图形？此时OPA的面积为？ 延长OP至Q点，作QCy轴于C点，这时形成的三角形面积呢？ 大家观察下这两个三角形有什么关系？即点P坐标为（m，n）时，点Q 的坐标是什么？ 点P,Q有什么关系？为什么？QABCOxy教师：现在大家看一下这幅图中还有那些图形的面积与k有关？适当添加辅助线，画出面积为|k|、|2k|、等等的图形。四、学教互动【抢答】1.如图，若反比例函数的图象过点A，矩形ABOC的面积为4，则k= ,反比例函数解析式为 。2.如图，若过原点的直线交双曲线与A、B点，过A作AM轴，ABM的面积为=_。3.如图，A是反比例函数图象上一点，过A作ABx轴于B，P在y轴上，ABP面积为3，则k= ,反比例函数解析式为 。4.在反比例函数的图象中，阴影部分的面积等于6的是_。ABP 【学以致用】例1、已知反比例函数在第一象限的图像，点P在其图象上，点A为x轴正半轴上的一点，连接PO、PA，且PO=PA，则POA的面积= 。变式：已知反比例函数在第一象限的图像，点P在其图象上，连接OP并延长至A，使得PO=PA，过点A作ABx轴于点B，则OAB的面积= 。 例2：如图，已知双曲线经过矩形OABC的边AB，BC的中点F，E，且四边形OEBF的面积为2，则k= 变式一：如图，已知双曲线经过矩形OABC的边AB，BC上的动点F，E，双曲线经过点B，连接OE，过点B作BD/OE,若平行四边形ODBE的面积为4，则k= 变式二：如图，已知双曲线经过矩形OABC的边AB，BC上的动点F，E，双曲线经过点B，则= 变式三：如图，已知双曲线经过矩形OABC的边AB，BC上的动点F，E，双曲线经过点B，连接EF，则BEF的面积 = 五、归纳小结1、一个性质：反比例函数的面积不变性。2、两种思想：数形结合和转化与化归思想。教师：数和形研究的是数学的两种不同方向。数研究物体数量关系，具有精确性；形研究物体外形特征，具有直观性。当我们遇到困难问题用纯数或者纯形很难解决时，要充分发挥几何和代数的优势，数形结合，解决实际问题。六、课后训练1、 如图，点A是反比例函数y=(x0)的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数y= 的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD =_2、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（，4），则AOC的面积为_ 3、如图 ，已知点A在双曲线y=上，且 OA=4，过A作ACx轴于C，OA的垂直平分线交OC于B（1）则AOC的面积= ，（2）ABC的周长为 4、如图，已知矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y=相交于点D，且OB：OD=5：3，则k= 5、如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=的图象上，则菱形的面积为 6、如图，A和B都与x轴和y轴相切，A和B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于.7、A、B是双曲线y=上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段、分别表示图中三个矩形的面积，若=1，且+=4，则k值为 8、.如图在反比例函数y=-（x0）