高中数学人教B版选修11或选修21 2.3 抛物线.ppt

10 3抛物线 哈尔滨师范大学王欢欢 知识结构 抛物线 定义 标准方程 几何意义 应用 小结 在平面内作与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹 抛物线 叫做抛物线 抛物线的焦点 抛物线的准线 抛物线的定义 l f y x o m x y e a 取过焦点f且垂直于准线l的直线为x轴 x轴与准线l相交于点e 以线段ef的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 设 ef p p 0 那么焦点f的坐标为准线l的方程为 设m x y 为抛物线上的任意一点 点m到l的距离为d 则点m满足条件 mf d p 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点到准线的距离 它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上 坐标是 它的准线方程是 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 y x o y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 1 一次项决定抛物线的对称轴 2 一次项系数的正负决定抛物线开口方向 焦点所在坐标轴的正负方向 在抛物线的标准方程中 如何根据抛物线的标准方程的不同形式来判断抛物线的图形 1已知抛物线的标准方程是y 6x求它的焦点坐标及准线方程 例题 解 因为2p 6 所以p 3抛物线的焦点坐标是 3 2 0 及准线方程是 2已知下列条件 求抛物线的标准方程 1 焦点坐标是 0 2 2 准线方程是x 1 解 设抛物线的标准方程为x2 2py由焦点坐标可知 p 4所以标准方程为x2 8y 解 由准线方程x 1可知抛物线的标准方程为y2 2px于是 p 2所以标准方程为y2 4y 抛物线的几何性质 范围对称性顶点 范围 y 0 x r y 0 x 0 y r x 0 y r x r 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 原点 0 0 顶点 抛物线的对称轴称为抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点 1求顶点在原点 焦点是f 0 5 的抛物线的标准方程 解 因焦点在y轴的正半轴故可设方程为x2 2py于是p 2 5 p 10抛物线的标准方程为x2 20y 2求顶点在原点 关于x轴对称 并且经过点m 4 2 的抛物线的标准方程 解 根据已知条件可设方程为y2 2px因点在抛物线上故 2 2 2p 4 p 1 2抛物线的标准方程为y2 x 抛物线的应用 抛物线的几何性质在技术上有广泛的应用 探照灯 汽车前大灯的反射镜和太阳灶反射面的轴截面就是抛物线的一部分 抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面2米 水面宽4米 水下降1米后 水面宽多少 解 以抛物线拱桥的最高点为坐标原点 过原点垂直于水平面的直线为y轴 建立直角坐标系 抛物线形拱桥所在的抛物线标准方程为x2 2py根据已知条件可知水平面的b点坐标为 2 2 代入方程得 22 2p 2 p 1所以抛物线方程为x2 2y 水面下降1米后b 点坐标为 x 3 代入方程中 得x2 2 3 6 所以这时水面宽为 b 2 2 b x 3 小结 本节主要内容包括 1 抛物线的概念 2 抛物线的标准方程 图像 3 抛物线的性质 4 抛物线的基本元素 作业 作业 读书部分 书面部分 再见 抛物线的定义 在平面内作与一个