高中数学圆的方程4课件苏教版必修二.ppt

圓的方程 我們知道 平面內與定點距離等於定長的點的集合 軌跡 是圓 定點就是圓心 定長就是半徑 根據圓的定義 我們來求圓心是c a b 半徑是r的圓的方程 如圖 設m x y 是圓上任意一點 根據定義 點m到圓心c的距離等於r 所以圓心c就是集合 由兩點間的距離公式 點m適合的條件可表示為 方程就是圓心為c a b 半徑為r的圓的方程 我們把它叫做圓的標準方程 如果圓心在坐標原點 這時a 0 b 0 那麼圓的方程就是 把兩邊平方 得 例1求c 1 3 為圓心 并和直線3x 4y 7 0相切的圓的方程 解 已知圓心是c 1 3 那麼只要再求戔圓的半徑r 就能寫出圓的方程 因為圓c和直線3x 4y 7 0相切 所以半徑r等於圓心c到直線的距離 根據點到直線的距離公式 得 因此 所求的圓的方程是 例2己知圓的方程 求經過圓上一點的切線的方程 解 如圖 設切線的斜率為k 半徑om的斜率為k 因為圓的切線垂直於過切點的半徑 於是 經點m的切線方程是 因為點在圓上 所以 所求切線方程是 當點m在坐標軸上時 可以驗上面方程同樣適用 例3如圖 是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖 該圓拱跨度ab 20m 拱高op 4m 在建造時每隔4m需用一個支柱支撐 求支柱a2p2的長度 精確到0 01m 解 建立坐標系如圖中所示 圓心在y軸上 設圓心的坐標是 0 b 圓的半徑是r 那麼圓的方程是 下面用待定系數法確定b和r的值 因為p b都在圓上 所以它們的坐標 0 4 10 0 都是這個圓的方程的解 於是得到方程組 解得 所以這個圓的方程是 圖 把點p2的橫坐標x 2代入這個圓的方程 得 因為p2的縱坐標y 0 所以方根取正值 於是 答 支柱a2p2的長度約為3 86m 把圓的標準方程 展開 得 可見 任一個圓的方程都可以寫成下面的形式 反過來 我們來研究形如的方程的曲線是不是圓 將的左邊配方 得 1 當時 比較方程和圓的標準方程 可以看出方程表示以 為圓心 為半徑的圓 2 當時 方程只有實數解 所以表示一個點 3 當時 方程沒有實數解 因而它不表示任何圖形 因此 當時 方程表示一個圓 方程叫做圓的一般方程 例 求二元二次方程 圓的標準方程的優點在於它明確地指出了圓心和半徑 而一般方程突出了方程形式上的特點 和的系數為1 沒有xy這樣的二次項 必要條件1 和的系數相同 不等於0 2 沒有xy這樣的二次項 表示圓的必要條件 及充分條件 結論 要求出圓的一般方程 只要求出個系數d e f就可以了 充分條件 1 和的系數相同 不等於0 2 沒有xy這樣的二次項 3 充要條件為 例4求過三點o 0 0 m1 1 1 m2 4 2 的圓的方程 并求圓的半徑和圓心坐標 解 設求的圓的方程為 用待定系數法 根據所給條件來確定d e f 因為o m1 m2在圓上 所以它們的坐標是方程的解 把它們的坐標依次代入上面的方程 得到關於d e f的三元一次方程組 解這個方程組 得f 0 d 8 e 6 於是得到所求圓的方程 由前面討論可知 所求圓的半徑 圓心坐標是 4 3 如圖 例5已知一曲線是與兩個定點o 0 0 a 3 0 距離的比為的點的軌跡 求此曲線的方程 并畫出曲線 解 在給定的坐標系里 設點m x y 是曲線上的任意一點 也就是點m屬於集合 由兩點間的距離公式 點m所適合