初中数学 实数教学案（有答案）.doc

第3章 实数【课标点击】1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根和立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念,知道实数和数轴上的点一一对应.4.认识是无理数,了解我国古代数学家对圆周率的贡献,了解当代对的计算的进展及其意义.5.能用有理数估计一个无理数的大致范围.在实际问题中,能用计算器进行实数的运算,并按问题的要求对结果取近似值;了解人类对实数的数值处理最终是通过有理数实现的.3.1 平方根【要点预习】1.平方根的概念:如果一个数的 等于,那么这个数叫做的平方根,也叫做的二次方根.一个正数的平方根可表示为 ,其中叫做 .2. 开平方的概念:求一个数的 的运算叫做开平方.3.算术平方根的概念:正数的 和零的 ,统称算术平方根4.平方根的性质:一个正数有正负两个平方根,它们互为 ;零的平方根是 ; 没有平方根.【课前热身】1. 要切一个面积为9的正方形钢板，它的边长是 .答案：3m2. 数5的平方根可表示为: .答案：3.的平方根是 .答案：4. 的算术平方根是_答案：2【讲练互动】【例1】下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根与算术平方根，如果没有，请说明理由.（1）25；（2）0.0081；（3）(7)2；（4）0.36.【分析】25、0.0081、(7)2都是正数,所以它们都有平方根与算术平方根,而0.36是负数,它没有平方根与算术平方根.【解】(1) 250, 25有平方根. 25的平方根是,即. 25的算术平方根是5,即.(2)0.00810, 0.0081有平方根. 0.0081的平方根是, 即. 0.0081的算术平方根是0.09, 即.(3)(7)2=490, (7)2有平方根. (7)2的平方根是,即. (7)2的算术平方根是7,即.(4) 0.360, t=2.创新应用17. 小燕同学将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开,拼成如图所示的一个大正方形.这个大正方形的面积是多少?它的边长是整数吗?若不是整数,那么请估计这个边长的值在哪两个整数之间?分析：显然,拼接成的大正方形的面积是两个小正方形的面积之和,它的边长即是面积的算术平方根.解：由图可知,大正方形纸板的面积是由两个小正方形纸板剪接而成的,所以大正方形的面积是32+32=18cm,则大正方形的边长是cm.显然不是整数., 可以估计,即在整数4与5之间.3.2 实数【要点预习】1.无理数的概念:象这种 小数叫做无理数.2.实数的概念: 和 统称为实数.3.实数的分类:4.实数与数轴上的点 .5.实数的大小比较:在数轴上表示的两个实数, 的数总比 的数大.【课前热身】1. 9的算术平方根是_.答案：32. 如果一个数的平方根是3，那么这个数是 .答案：93.请任意写出一个无理数 .答案：4. 的绝对值是 .答案：【讲练互动】【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。(1) 无理数是循环小数；(2) 无理数是除有限小数以外的所有小数；(3) 有理数是除无理数以外的所有小数.【分析】应搞清无理数的概念及实数的分类.无限不循环小数叫做无理数.有理数与无理数统称为实数.解：（1）错. 因为无理数是无限不循环小数. （2）错. 无限小数中还有无限循环小数，它是有理数；只有无限不循环小数才是无理数. （3）对. 在所有小数中，除了无限不循环小数（无理数）以外，还有有限小数和无限循环小数，它们都是有理数.【绿色通道】要特别注意无理数和有理数的区别，注意无限不循环小数与无限循环小数的差别，前者不能化为分数，后者则可以.【变式训练】1. 下列说法：无尽小数是无理数；有理数都是有尽小数；带根号的数都是无理数. 其中正确的有（ ）A. 0句 B. 1句 C. 2句 D. 3句答案：A【例2】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，0，,(两个“3”之间依次多一个“1”)，.【分析】根据有理数与无理数的概念来判别.解：有理数有、0、；无理数有 、.【绿色通道】所有的整数和分数都是有理数，无限不循环小数是无理数. 注意=5.【变式训练】2.下列实数中是无理数的是（ ）. .答案：C【例3】在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接：，0，【分析】对于,可以通过画边长为1的正方形的对角线得到.对于等无理数,可取适当的近似值,近似地表示在数轴上.解: ，0，在数轴上表示如图所示.由图得到: .【绿色通道】对于实数的比较大小,可把实数表示在数轴上,根据”在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大”得到结果.【变式训练】3.在三个数0.5、中，最大的数是（ ）A. 0.5 B. C. D. 不能确定解析：=,0.5=,的整数部分是2, 可知最大的数是.答案：B【同步测控】基础自测1. 的相反数是（ ）A B C D2.比较的大小，正确的是（ ） 3.下列说法正确的是（ ）A无限小数是无理数 B不循环小数是无理数C无理数的相反数还是无理数 D两个无理数的和还是无理数4. 写出一个有理数和无理数，使它们都是大于的负数： . 5. 用“”、“”号或数字填空：2.236 2.237 第7题2.236 2.237 （保留三个有效数字）6. 比较大小：_（填：“、”）。7.如图，在数轴上，两点之间表示整数的点有个8. 在.中：属于有理数的有；属于无理数的有；属于正实数的有；属于负实数的有.9.在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接：.能力提升10. 如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）AB1.4CD11. 满足大于而小于的整数有 个.12. 在数轴上，到原点距离为个单位的点表示的数是.13.探索下列结论是否正确?如不正确,请举例说明:(1)两个无理数之和仍为无理数;(2)两个无理数之积仍为无理数;(3)一个有理数与一个无理数之和仍为无理数;(4) 一个有理数与一个无理数之积仍为无理数.14. 利用44方格，作出面积为8平方厘米的正方形，然后在数轴上表示实数.创新应用15.利用方格作正方形,你能作出几个边长为无理算术平方根的正方形(要求顶点在格点上)?它们的边长分别是多少?(要求画出四个)参考答案基础自测1. 的相反数是（ ）A B C D解析：把数从有理数扩充到实数后,有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用于实数.因为=5,则的相反数是-5.答案：B2.比较的大小，正确的是（ ） 答案：A3.下列说法正确的是（ ）A无限小数是无理数B不循环小数是无理数C无理数的相反数还是无理数D两个无理数的和还是无理数解析：无理数是无限不循环小数, A、B都是错误的. ,D是错误的.答案：C4. 写出一个有理数和无理数，使它们都是大于的负数： . 解析：根据有理数与无理数的概念,再结合条件,可写出.答案：如5. 用“”、“”号或数字填空：2.236 2.237 2.236 2.237 （保留三个有效数字）答案： 2.246. 比较大小：_（填：“、”）。第7题答案：B7.如图，在数轴上，两点之间表示整数的点有个解析：符合题意的整数有四个.答案：48. 在.中：属于有理数的有；属于无理数的有；属于正实数的有；属于负实数的有.解：有理数有： 无理数有： 正实数有 负实数有：9.在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接：.解: 在数轴上表示如图所示.由图得到: .能力提升10. 如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）AB1.4CD解析：根据教材第70页中图3-2可知,边长为1的正方形的对角线长为,则点A表示的数是.这种数学思想方法称为”数形结合”.答案：D11. 满足大于而小于的整数有 个.解析：,的整数部分是2, 符合的整数有: .答案：612. 在数轴上，到原点距离为个单位的点表示的数是.解析：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值, 数轴上，到原点距离为个单位的点表示的数是.答案：13.探索下列结论是否正确?如不正确,请举例说明:(1)两个无理数之和仍为无理数;(2)两个无理数之积仍为无理数;(3)一个有理数与一个无理数之和仍为无理数;(4) 一个有理数与一个无理数之积仍为无理数.分析：无限不循环小数叫做无理数, 一个有理数与一个无理数之和仍为无限不循环小数,即仍为无理数. (3)是正确的,其余皆可用例子说明是错误的.解：(1)是错误的. 举例：；(2) 是错误的.举例：；(3) 是正确的；(4) 是错误的.举例：.14. 利用44方格，作出面积为8平方厘米的正方形，然后在数轴上表示实数.分析：44方格的总面积是16, 只要依次连接各边中点所得正方形面积即为8.而正方形边长就是正方形的面积的算术平方根,则在数轴上只要以原点为圆心,以所做正方形边长为半径画弧与数轴在原点左侧的交点表示的数即是.解：如上图即是所求的正方形.创新应用15.利用方格作正方形,你能作出几个边长为无理算术平方根的正方形(要求顶点在格点上)?它们的边长分别是多少?(要求画出四个)分析: 要作出边长为无理算术平方根的正方形,且正方形的顶点要在格点上,则这种正方形必是斜的正方形,通过尝试分别作出.解:如图.3.3 立方根【要点预习】1.立方根的概念:如果一个数的 等于,这个数就叫做的立方根,也叫做的三次方根.记做 .2.开立方的概念:求一个数的 的运算,叫做开立方.3.立方根的性质:一个正数有一个 的立方根;一个负数有一个 的立方根;零的立方根是 .【课前热身】1. 的立方根是（ ）A B C D2. 一个体积为8cm3的正方体，其棱长是cm.答案：23.因为的立方是27，所以27的立方根是，即.答案：3 3 3【讲练互动】【例1】求下列各数的立方根. .解： 【绿色通道】一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根;零的立方根是0.【变式训练】1. 求下列各数的立方根：（1）0.008；（2）.解:（1）因为（0.2）2=0.008，所以0.008的立方根为0.2，即；(2) 因为=,而,所以的立方根是,即=.【例2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）； .解：（1）=； （2）=； （3）；.【黑色陷阱】注意根号内的“”号可以移到根号外面；应把带分数化成假分数再开立方.【变式训练】2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 解析：因为负数的立方根是负数.可从结果的正负来判断.A、B、D选项的左边是负数,而右边是正数,所以A、B、D不成立.答案：C【例3】”魔方”是一种形状为立方体的玩具,它由三层完全相同的九个小立方体组成,九个小立方体体积为243cm2,求每个小立方体的棱长.解：每个小立方体的棱长为xcm, 则9x3=243, x3=27, x=cm.【变式训练】3. 小燕制作了一个无盖的立方体纸盒,它的体积比棱长为4cm的立方体的体积的一半还少5cm3,求这个纸盒的表面积是多少?解：设这个立方体的棱长为xcm，则x3=435=27，x=3cm.【同步测控】基础自测1. 等于（ ）A. 9 B. 9 C. 3 D. 32. 下列说法中正确的是（ ）A.一个正数的平方根和立方根都只有一个B.零的平方根和立方根是零C.1的平方根与立方根都等于它本身 D.一个数的立方根与其自身相等的数只有13. 的相反数是（ ）A B C D4. = _5.一个立方体的体积是125立方米,则它的棱长为 .6. 若_.7. 的绝对值为，相反数为，倒数为.8. 8的立方根与9的算术平方根的积是 .9. 求下列各数的立方根：（1）； (2)9.10. 如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？如果球的体积变为原来的1000倍呢？变为原来的几倍呢？（球的体积公式为）.能力提升11. 一个数的立方根是它本身，则这个数是（）A. 1 B. 0或1 C. 1或1 D. 1,0或112. 若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（）A. 4 B. C. 2 D. 13.我们知道: 利用以上规律,解下列问题：已知,求= .14. 计算：(1)； (2).15.求下列各式中的：(1)； (2).创新应用16. 已知是一个正整数,求满足条件的最小正整数的值.参考答案基础自测1. 等于（ ）A. 9 B. 9 C. 3 D. 3答案：D2. 下列说法中正确的是（ ）A.一个正数的平方根和立方根都只有一个B.零的平方根和立方根是零C.1的平方根与立方根都等于它本身 D.一个数的立方根与其自身相等的数只有1解析：一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,故A错误;1的平方根是,不是它本身,故C错误; 一个数的立方根与其自身相等的数有三个,它们是,故D错误.而零的平方根是零,立方根也是零.答案：B3. 的相反数是（ ）A B C D答案：B4. = _答案：0.15.一个立方体的体积是125立方米,则它的棱长为 .答案：5米6. 若_.解析：由立方根的概念可知x就是0.2的立方.答案：0.0087. 的绝对值为，相反数为，倒数为.答案： 8. 8的立方根与9的算术平方根的积是 .答案：69. 求下列各数的立方根：（1）；(2)9.解：(1)因为，所以的立方根为，即.（2）9的立方根为10. 如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？如果球的体积变为原来的1000倍呢？变为原来的几倍呢？（球的体积公式为）.解：分别为2， 3，10倍.能力提升11. 一个数的立方根是它本身，则这个数是（）A. 1 B. 0或1 C. 1或1 D. 1,0或1答案：D12. 若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（）A. 4 B. C. 2 D. 解析：平方根是的数是64, 而64的立方根即为4.答案：6413.我们知道: 利用以上规律,解下列问题：已知,求= .解析：被开方数扩大或缩小1000倍, 立方根的运算结果就相应地扩大或缩小10倍. 反之, 由于立方根缩小到原来的10倍, 故被开方数缩小到原来的1000倍.答案：2.00814. 计算：(1)；(2).解：(1) 原式=；(2) 原式=5(1)12+4=2.15.求下列各式中的：(1)；(2).分析：先化成的形式，再根据立方根的定义求解.解：（1）由得，. .（2）由得，, , 即.创新应用16. 已知是一个正整数,求满足条件的最小正整数的值.解：128=25, 且是一个正整数, 128x必为立方数, 最小为26, 即x最小正整数值为2. 3.4 用计算器进行数的开方【要点预习】1.开平方的结果不是有理数,或数字个数超过计算器显示个数时,计算器显示的是它的 .【课前热身】1. 在下列实数中，无理数是（ ）A. 3.14 B. C. 0 D. 答案：D2. 64的立方根等于（ ）A4 B4 C8 D8答案：A3. 利用计算器求 .（结果保留4个有效数字）.答案：2.2364. 利用计算器求= .（结果保留4个有效数字）.答案：2.080【讲练互动】【例1】用计算器计算： (1) ；(2) ；(3)（结果保留4个有效数字）：解； ； ；(3).【变式训练】1. 利用计算器比较（1）与的大小；（2）与的大小.解：(1) .【例2】已知物体自由下落时,下降的高度(米)和下降的时间(秒)之间的关系是.一位撑杆跳高运动员跳过高度为6.12米的横杆,求运动员跳过横杆后下落的时间.(精确到0.1秒)【分析】由可得,则是的算术平方根,可由计算器计算得到.【解】 ,(秒).答:运动员跳过横杆后下落的时间约为1.1秒.【变式训练】2. 面积都是50平方米的圆和正方形的周长哪个大？大多少？（精确到0.1平方米）解：设圆的半径为rm, 正方形的边长为xm, 则r2=50, r=3.99, 圆的周长为2r25.1m；x2=50, x=7.07, 正方形的周长为4x28.3m,28.325.1=3.2m.【同步测控】基础自测1.估计的值（ ） A在3到4之间 B在4到5之间C在5到6之间 D在6到7之间2. 下列说法中错误的是（ ）A. 正实数都有两个平方根 B. 任何实数都有立方根C. 负实数只有立方数根，没有平方根D. 只有正实数才有算术平方根3. 利用计算器比较：、的大小关系为（ ）A. B. C. D.4. 下列各数中，在1与2之间的数是（ ）A1 B C D35.面积为5.4cm2的正方形的边长为 (精确到0.01)。6. 的整数部分是 .7. 利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）：（1）； （2）； （3）； （4）.8.一个正方形广场的面积为856m2，求该广场的周长.（精确到）9.用计算器计算下面两组数（保留4个有效数字）.(1)；.(2)；.观察上述计算结果及被开方数之间的关系，你发现了什么？能力提升10.的立方根是（ ）A. B. C. D. 11.估计的值是（ ）A在2和3之间 B在3和4之间C在4和5之间 D在5和6之间12. 在如图的数轴上，用点A大致表示.-2-1O-3157432613用计算器计算：，请你猜测的结果为_.14.交通警察通常用经验公式来估计车辆的行驶速度,其中(千米/时)表示行驶速度, (米)表示刹车后汽车滑过的距离, 表示摩擦因数.若在某次交通事故中交通警察测得米, ,则事故车辆的速度是多少?(精确到0.01千米/时)创新应用15.根据爱因斯坦的相对论,当地球过去1秒时,宇宙飞船内只经过秒(公式内的 指光速,它等于30千米/秒; 指宇宙飞船的速度).假定有一对25岁和28岁的亲兄弟,哥哥乘坐以光速的0.98倍的速度飞行的宇宙飞船,作了五年科学考察后回到地球(这个五年是指地面上的5年,所以弟弟已经30岁了.请你用上述公式推算一下此时哥哥的年龄是多少岁?参考答案基础自测1.估计的值（ ） A在3到4之间 B在4到5之间C在5到6之间 D在6到7之间答案：C2. 下列说法中错误的是（ ）A. 正实数都有两个平方根 B. 任何实数都有立方根C. 负实数只有立方数根，没有平方根D. 只有正实数才有算术平方根解析：”正数的正平方根和零的平方根,统称为算术平方根”, D是错误的.答案：D3. 利用计算器比较：、的大小关系为（ ）A. B. C. D.答案：B4. 下列各数中，在1与2之间的数是（ ）A1 B C D3答案：B5.面积为5.4cm2的正方形的边长为 (精确到0.01)。答案：2.32cm6. 的整数部分是 .答案：37. 利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）：（1）；（2）；（3）；（4）.解：(1)1.773；(2)0.5477；(3)4.327；(4)0.479.8.一个正方形广场的面积为856m2，求该广场的周长.（精确到）解：117.0m.9.用计算器计算下面两组数（保留4个有效数字）.(1)；.(2)；.观察上述计算结果及被开方数之间的关系，你发现了什么？解：(1) , ； ；.(2) ； .发现：算术平方根的被开方数的小数点每向左或向右移动两位，则结果的小数点向左或向右移动一位，而立方根的被开方数的小数点每向左或向右移动三位，则结果的小数点向左或向右移动一位.能力提升10.的立方根是（ ）A. B. C. D. 答案：A11.估计的值是（ ）A在2和3之间B在3和4之间C在4和5之间D在5和6之间12. 在如图的数轴上，用点A大致表示.-2-1O-31574326 答案：略13用计算器计算：，请你猜测的结果为_.解析：=10，=100，=1000,几何.答案：14.交通警察通常用经验公式来估计车辆的行驶速度,其中(千米/时)表示行驶速度, (米)表示刹车后汽车滑过的距离, 表示摩擦因数.若在某次交通事故中交通警察测得米, ,则事故车辆的速度是多少?(精确到0.01千米/时)解：米, 时, 97.98千米/时.创新应用15.根据爱因斯坦的相对论,当地球过去1秒时,宇宙飞船内只经过秒(公式内的 指光速,它等于30千米/秒; 指宇宙飞船的速度).假定有一对25岁和28岁的亲兄弟,哥哥乘坐以光速的0.98倍的速度飞行的宇宙飞船,作了五年科学考察后回到地球(这个五年是指地面上的5年,所以弟弟已经30岁了.请你用上述公式推算一下此时哥哥的年龄是多少岁?解：因为当地球过去1秒时,宇宙飞船内只经过 =秒,即相当于地面时钟的时间的,所以地面上过了5年后,在宇宙飞船中的哥哥只过了1年,则此时哥哥的年龄是29岁.3.5 实数的运算【要点预习】1.有理数的运算法则同样适用于 运算.2.实数的运算法则是:先算 和 ,再算 ,最后算 ,如果遇到 ,则先进行 内的运算.【课前热身】1. 等于（ ）A. 2 B. -2 C. D. 答案：B2. 计算：=（ ）A. 5 B. 3 C. -3 D. 1答案：D2. 计算： =_.答案：3. 用计算器计算：（结果保留4个有效数字），.答案：177.2 0.7861 0.08159【讲练互动】【例1】利用计算器计算（结果精确到0.01）（1）；（2）；（3）.解：(1) 1.41；(2) 0.73；(3) 8.47.【变式训练】1. 计算：(结果保留四个有效数字)解：原式=-1.636【例2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为,其中T表示周期(单位：秒)l表示摆长(单位：米)g9.8米/秒，假如一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分内该座钟大约发出了多少次滴答声？解：当l=0.5, g=9.8时, 1.42秒, 601.4242次.【变式训练】2. 一本书长是宽的1.6倍，面积为274平方厘米，则这本书的宽大约是多少？（精确到0.1cm） 分析：因为长方形的面积=长宽,可设宽,得到关于的方程解之. 解：设宽为,则长为. 根据题意得： cm.答：这本书的宽大约是13.1厘米.【同步测控】基础自测1.计算：=（ ）5 3 3 2. 计算：结果是（ ）A. 3 B. 7 C. -3 D. 73.估算+2的值是在（ ）A. 5和6之间B6和7之间C7和8之间D8和9之间4. 利用计算器验证下列计算中正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 第一个正方形的边长是3cm，第二个正方形的面积是它面积的5倍，则第二个正方形的边长为（精确到0.1 cm）.6. 利用计算器计算= . （结果精确到0.01）.7. 已知数轴上两点A、B到原点的距离分别是和2，则AB= .8.计算: .9.计算：(1) (精确到0.01)； (2) (保留四个有效数字).能力提升10.已知0x1，那么在中最大的数是（ ）A. x B. C. D.11. 不小于的最小整数是（ ）A. 4 B. 10 C. 9 D.812. a, b都是无理数，且a+b=6, 则a,b的值可以是 （填上一组满足条件的值即可）.13. 的整数部分与小数部分的差是多少?(保留三个有效数字)14. 借助计算器求出下列各式的值：仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 .创新应用15.小燕在测量铅球的半径时,先将铅球完全浸没在一个带刻