直线方程导学案.doc

2.1. 1 直线的斜率学习目标1.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；2.理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；3.掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.学习过程一 学生活动1.确定直线位置的要素有哪些？2.直线的倾斜程度如何来刻画？二 建构知识1.直线的斜率的定义：（1）已知两点、如果，那么直线的斜率为；如果，那么直线的斜率_（2）对于与轴不垂直的直线，它的斜率也可以看作是注意：直线斜率公式与两点在直线上的位置及顺序无关2.倾斜角的定义：在平面直角坐标系中， 便是直线的倾斜角直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 因此该定义也可看作是一个分类定义3倾斜角的范围是 4直线的斜率与倾斜角的关系：当直线与轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角之间满足 ；当直线与轴垂直时，直线的斜率 ，但此时倾斜角为 5斜率与倾斜角之间的变化规律：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为负；并规定；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大注意：任何直线都有倾斜角且是唯一的，但不是任何直线都有斜率三 知识运用例题例1 如图，直线l1，l2，l3，都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（2，1），Q2（4，2），Q3（3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率xyQ1l1l2l3Q3Q2例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）；（2）例3 证明三点A（2，12），B（1，3），C（4，6）在同一条直线上变式：已知两点A（1，1），B（3，3），点C（5，a）在直线AB上，求实数a的值例4 已知直线经过点P（a，1），Q（3，3），求直线PQ的斜率例5已知过点、的直线的倾斜角为，求实数的值一变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值二变：若过点、的直线的倾斜角为，求实数的值三变：实数为何值时，经过两点、的直线的倾斜角为钝角？例6 过两点（，1），（0，b）的直线l的倾斜角介于30与60之间，求实数b的取值范围例7 已知两点A（m，3），B（2，3+2），直线l的斜率是，且l的倾斜角是直线AB倾斜角的，求m的值例8 设点，直线过点，且与线段相交，求直线的斜率的取值范围巩固练习1分别求经过下列两点的直线的斜率（1）；（2）；（3）；（4），（）2根据下列条件，分别画出经过点，且斜率为的直线（1），；（2），；（3），；（4），斜率不存在3分别判断下列三点是否在同一直线上（1）；（2）4判断正误：（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率（）（2）若一直线的倾斜角为，则此直线的斜率为（）（3）倾斜角越大，斜率越大（）（4）直线斜率可取到任意实数（）5光线射到轴上并反射，已知入射光线的倾斜角，则斜率_，反射光线的倾斜角_，斜率_6已知直线l1的倾斜角为，则l1关于轴对称的直线l2的倾斜角为_ _7已知直线l过点P（1，2）且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的斜率四 回顾小结掌握过两点的直线的斜率公式理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.五 学习评价双基训练1 经过的直线的斜率2.三边所在直线的斜率：3.已知过点5.设直线的斜率为，则它关于y轴对称的直线的倾斜角是_.6.设a，b，c是两两不等的实数，直线经过点P(b,b+c),Q(a,a+c)与点，则直线的斜率是_.7.已知M(2, m+3),N (m-2 ,1).（1）当为m何值时，直线MN的倾斜角为锐角？（2）当为m何值时，直线MN的倾斜角为直角？（3）当为m何值时，直线MN的倾斜角为钝角？8.已知A(4,5),B(-2a,-3),C(1,a)三点共线，求a的值.2.1.2 直线的方程点斜式 学习目标1.掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程；2.感受直线的方程和直线之间的对应关系学习过程一 学生活动若直线经过点，斜率为-2，点上运动，那么点的坐标满足什么条件？二 建构知识1.（1）若直线经过点，且斜率为，则直线方程为 ；这个方程是由直线上 及其 确定的，所以叫做直线的 方程（2）直线的点斜式方程一般形式：适用条件：2（1）若直线的斜率为，且与轴的交点为，代入直线的点斜式，得 ，我们称为直线在轴上的 这个方程是由直线的斜率和它在轴上的 确定的，所以叫做直线的 方程（2）直线的斜截式方程截距：一般形式：适用条件：注意：当直线和轴垂直时，斜率不存在，此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示三 知识运用例题例1 已知一直线经过点P（2，3），斜率为2，求此直线方程例2 直线的斜率和在轴上的截距分别为 （）A0， B2，5 C0，5 D不存在，例3 将直线l1：绕着它上面的一点按逆时针方向旋转 得直线l2，求l2的方程例4 已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求直线l的方程巩固练习1根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）经过点，斜率为3；（2）经过点，斜率为；（3）斜率为，在y轴上的截距为；（4）斜率为，与轴交点的横坐标为；（5）经过点，与轴平行；（6）经过点，与轴平行2若一直线经过点，且斜率与直线的斜率相等，则该直线的方程是 四 回顾小结掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程五 学习评价基础训练：1写出下列直线的点斜式方程: (1) 经过点，斜率为： ； (2) 经过点，倾斜角是： 2写出下列直线的点斜式方程:(1) 斜率是，在y轴上的截距为： ； (2) 斜率是-2，与x轴的交点为（3，0）： 3直线的斜率是 ；在轴上的截距是 4直线经过一定点，该定点的坐标为 5若在第一象限，且点在直线的上方，则直线的方程是 ；直线的方程是 6直线的方程为，若与关于y轴对称，则的方程为 ；若与关于轴对称，则的方程为 ；7经过两点的直线斜率为，求直线的方程8求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点； （2）在轴上的截距为2.1. 2 直线的方程两点式学习目标1.掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；2.能正确理解直线方程一般式的含义；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式.学习过程一 学生活动探究 如果直线经过两点，求直线的方程。二 建构知识1直线的两点式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：2直线的截距式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：注：“截距式”方程是“两点式”方程的特殊形式，它要求直线在坐标轴上的截距都不为3直线的一般式方程：4直线方程的五种形式的优缺点及相互转化：思考：平面内任意一条直线是否都可以用形如的方程来表示？三 知识运用例题例1 三角形的顶点，试求此三角形所在直线方程例2 求直线的斜率以及它在轴、轴上的截距，并作图例3 设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：（1）直线在轴上的截距是；（2）直线的斜率是1；（3）直线与轴平行例4 过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程1巩固练习1 由下列条件，写出直线方程，并化成一般式：（1）在x轴和y轴上的截距分别是，3；（2）经过两点P1（3，2），P2（5，4）2设直线的方程为，根据下列条件，求出应满足的条件：（1）直线过原点； （2）直线垂直于轴；（3）直线垂直于轴； （4）直线与两条坐标轴都相交四 回顾小结掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式五 学习评价双基训练:1经过点,和的直线方程是_ 2在轴、轴上的截距分别是的直线方程是_.3.直线方程的截距式方程是_.4.过两点和的直线在轴上的截距是_.5.直线在轴上的截距为1，则等于_.6.直线l过点且与两坐标正半轴轴围成三角形的面积为个平方单位，则该直线方程为_7.求过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程.10.在直角坐标系中，的三个顶点为A（0，3），B（3，3），C（2，0）.若直线将分割成面积相等的两部分，求实数的值.2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）学习目标1. 掌握用斜率判断两条直线平行的方法.2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。 学习过程一 学生活动探究：两条直线斜率相等，它们平行吗？两条直线平行斜率相等吗？二建构知识1当两条不重合的直线的斜率都存在时，若它们相互平行，则它们的斜率_，反之，若它们的斜率相等，那么它们互相_，即/_2当两条直线的斜率都不存在时，那么它们都与轴_，故 3. 已知l1：A1x+B1y+C1 =0 ,l2：A2x+B2y+C2 =0若l1 _三 知识运用例题例1 已知两直线，求证：/ABCD-4253-3例2 求证：顺次连结所得的四边形是梯形例3 求过点，且与直线平行的直线的方程例4 求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程1巩固练习1如果直线与直线平行，则_2过点且与直线平行的直线方程是_3两直线和的位置关系是_4已知直线与经过点与的直线平行，若直线在轴上的截距为，则直线的方程是_5已知，求证：四边形是梯形四 回顾小结 两条直线平行的等价条件五 学习评价双基训练：1. 根据条件，判断直线与是否平行；的方程y=2x+1, 经过点A（1，2），B（4，8）：_;的斜率为，在x轴、y轴的截距分别为1，2：_.2. 已知过点和的直线与直线平行,则等于_ 3. 直线与直线平行,则等于_4. 已知点,点,则过点与直线平行的直线方程是_5.已知点，直线，则过点P且与平行的直线的方程为_,6.当直线与轴平行且与轴相距为时， ； 7.判断四边形ABCD的形状，其中A（-1，1），B（2，3），C（1，0），D（-2，-2）.2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）学习目标1. 掌握用斜率判断两条直线垂直的方法.2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。学习过程一 学生活动1过点且平行于过两点的直线的方程为_2直线：与直线：平行，则的值为_3已知点，判断四边形的形状，并说明此四边形的对角线之间有什么关系？二 建构知识1.当两条不重合的直线的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_，反之，若它们的斜率的乘积_，那么它们互相_，即 _当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们_2直线与直线垂直的条件是，与直线垂直的直线可设为三 知识运用例题例1 （1）已知四点，求证：；（2）已知直线的斜率为，直线经过点，且，求实数的值xy例2 如图，已知三角形的顶点为求边上的高所在的直线方程1巩固练习1求满足下列条件的直线的方程： （1）过点且与直线垂直； （2）过点且与直线垂直； （3）过点且与直线垂直2如果直线与直线垂直，则_3直线：与直线：垂直，则的值为_4若直线在轴上的截距为，且与直线：垂直，则直线的方程是_5以为顶点的三角形的形状是_四 回顾小结两直线垂直的等价条件五 学习评价基础训练1. 直线在轴上的截距为2，且与直线垂直，则方程为_2. 根据条件，判断直线l1与是否垂直：的倾斜角为，的方程为 _;经过点M（1，0），N（4，5），经过点R（-6，0），S（-1，3）：_.3.若直线和直线垂直，则满足_.4.已知两点，点C在坐标轴上.若=，则这样的点C有_个.5. 已知点点在直线上且直线垂直于该直线，则点的坐标是_ 6.若原点在直线上的射影为，则直线的方程为_.7. 求与直线垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程2.1.4 两条直线的交点学习目标1. 会求两直线的交点；2. 理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.学习过程一 学生活动问题： 两条直线是否有交点？若有交点如何来求解？二 建构知识设两条直线的方程分别是：方程组一组无数组无解直线的公共点个数直线的位置关系三 知识运用例题例1 直线经过原点，且经过另两条直线的交点，求直线的方程例2 （1）已知直线经过两条直线的交点，且与直线平行，求直线的方程 （2）已知直线经过两条直线的交点，且垂直于直线，求直线的方程1巩固练习1与直线相交的直线的方程是（） A B C D2若三条直线和相交于一点，则的值为_3（1）两条直线和的交点，且与直线平行的直线方程为_ （2）过直线与直线的交点，且与直线垂直的直线方程是_4已知直线的方程为，直线的方程为，若，的交点在轴上，则的值为（） A B C D与有关四 回顾小结 会求两直线的交点，以及两直线方程联立方程组的解的个数与直线位置关系的联系五 学习评价双基训练1.直线与的交点坐标为 2.如果两条直线和的交点在y轴上，则m的值为 3.若三条直线相交于一点，则实数k的值等于 4.若直线经过两条直线的交点，且与直线垂直，则直线的方程为 5.直线与直线垂直并且相交于点（1，m），则= ，= ， 6.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围为 .7.已知P是直线上的一点，将直线绕P点逆时针方向旋转角所得直线的的方程为.若继续绕P点逆时针旋转，则得直线的方程为.求直线的方程.2.1.5 平面上两点间的距离学习目标1.掌握平面上两点间的距离公式，掌握中点坐标公式；2.能运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题学习过程一 学生活动问题 1. 如何求两点间的距离？2.如何求两点间的距离?二 建构知识1两点间的距离公式：2中点坐标公式：三 知识运用例1 例题已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在直线的方程例2 一条直线：，求点关于对称的点的坐标例3 已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，证明：1巩固练习1已知两点之间的距离是，则实数的值为_2已知两点，则关于点的对称点的坐标为_3已知的顶点坐标为，那么边上的中线的长为_4点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，求线段的长四 回顾小结 两点间的距离公式，中点坐标公式五 学习评价双基训练1.已知点A（7，4），点B（3，2），则AB= ，AB的中点M的坐标是 2.已知A（1，2），B（-1，1），C（0，-1），D（2，0），则四边形ABCD的形状为 3.点P（2，-3）关于点M（4，1）的对称点Q的坐标是 4.若过点B（0，2）的直线交x轴于A点，且，则直线AB的方程为 5.已知三角形的三个顶点A（2，8），B（-4，0），C（6，0），则AB边上的中线CD所在直线的方程为 6.若直线过点P(2,3),且被坐标轴截得的线段的中点恰为P，则直线的方程为 7.已知点A（-1，2），B（2，），试在x轴上求一点P，使PA=PB，并求此时PA的值.2.1.6 点到直线的距离（1）学习目标1 掌握点到直线的距离公式，能运用它解决一些简单问题2 通过对点到直线的距离公式的推导，渗透化归思想，进一步了解用代数方程研究几何问题的方法。学习过程一 学生活动问题 我们已经证明图中的四边形为平行四边形，如何计算它的面积?yxB(3,-2)A(-1,3)D(2,4)C(6,-1) 二 建构知识已知 (不同时为)，则到的距离为说明：（1）公式成立的前提需把直线方程写成一般式；（2）当点在直线上时，公式仍然成立三 知识运用例题例1 求点到下列直线的距离： （1） （2）（3） （4）例2 点P在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标例3 若，求ABC的面积1巩固练习1求下列点到直线的距离：（1），；（2），2直线经过原点，且点到直线的距离等于，求直线的方程四 回顾小结点到直线的距离公式的推导及应用五 学习评价双基训练1.点P在直线上，且P点到直线的距离为，则点P的坐标为 2.点P（2，-1）到直线2y=3的距离为 3已知点到直线的距离为，则等于_.4. 直线在轴上截距为，且原点到直线的距离是，则直线l的方程为_5.已知三角形的三个顶点分别是A（2，3），B（-2，1），C（3，2），则三角形的面积为 6. 直线经过原点，且点到直线的距离等于，则直线l的方程为_7.已知点A（0，-1），B（2，5），求以A，B为顶点的正方形ABCD的另另两个顶点C，D的坐标.2.1.6 点到直线的距离（2）学习目标1.熟练应用点到直线距离公式；2.掌握两平行直线距离公式的推导及应用； 学习过程一 学生活动探求 求直线与直线之间的距离二 建构知识一般地，已知两条平行直线， ()之间的距离为说明：公式成立的前提需把直线方程写成一般式且x,y系数对应相等三 知识运用例题例1 用两种方法求两条平行直线与之间的距离例2 求与直线平行且与其距离为的直线方程例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高例已知两直线，被直线截得的线段长为，过点，且这样的直线有两条，求的范围1巩固练习1求下列两条平行直线之间的距离：（1）与（2）与2直线到两条平行直线与的距离相等，求直线的方程四 回顾小结两条平行直线的距离公式的推导及应用五 学习评价基础训练1直线与直线之间的距离是2直线与距离为3.若直线m与直线l：3x-4y-20=0平行且距离为3，则直线m的方程为 4.若直线m经过点（3，0），直线n经过点（0，4），且mn，m和n间的距离为d，则d的取值范围为 _5. 与两平行直线和的距离之比为的直线方程为6.到两条平行直线2x-y+2=0和4x-2y+8=0的距离相等的直线的方程为 7.已知点A（0，-1），B（2，5），求以A，B为顶点的正方形ABCD的另另两个顶点C，D的坐标.2.2.1 圆的方程 （1）学习目标1. 掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径2. 会用代定系数法求圆的基本量、学习过程一 学生活动问题1在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？问题2要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？二 建构知识1圆的标准方程的推导过程：2 圆的标准方程：_ 3.点在圆内、圆上、圆外的等价条件三 知识运用例题例1 求圆心是，且经过原点的圆的标准方程例2 已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 （1）已知圆的直径的两个端点是，求该圆的标准方程（2）已知圆的直径的两个端点是，求该圆的标准方程例4 求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程1巩固练习1圆：的圆心坐标和半径分别为_；_2圆心为且与直线相切的圆的标准方程为 3以为圆心且过点的圆的标准方程为 4若点在圆外，则实数的取值范围是 5求过点且与轴切于原点的圆的标准方程四 回顾小结圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程五 学习评价基础训练1.圆心在C（8，-3），且经过点M(5,1)的圆的方程为_.2已知两点P(4,9),P(6,3),则以线段PP为直径的圆的方程是_.3以点A（-5，4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是_.4设M是圆上的点，则M到直线的最短距离是_.5.在圆中，满足条件_时，圆过原点；满足条件_时，圆心在y轴上，满足条件_时，圆与x轴相切；满足条件_时，圆与两坐标轴均相切.6.若一个圆的圆心坐标为（2，-3），一条直径的两个端点分别落在x轴和y轴上，则此圆方程是_.7.求圆关于直线对称的圆的方程.8.求过点A（1，2），且与两坐标轴都相切的圆的方程.2.2.1 圆的方程（2）学习目标1. 掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程是否是圆的一般方程，2. 能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径3. 会用代定系数法求圆的一般方程.学习过程一 学生活动问题1已知一个圆的圆心坐标为，半径为，求圆的标准方程问题2在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如的顶点坐标，求外接圆方程这道题怎样求？有几种方法？二 建构知识1圆的一般方程的推导过程2若方程表示圆的一般方程，有什么要求？ 三 知识运用例题例1 已知的顶点坐标，求外接圆的方程变式训练：已知的顶点坐标、，求外接圆的方程例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度，拱高，每隔需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到）例3 已知方程表示一个圆，求的取值范围变式训练：若方程表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数的取值范围1巩固练习1下列方程各表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2如果方程所表示的曲线关于直线对称，那么必有（）ABCD3求经过点，的圆的方程四 回顾小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程五 学习评价双基训练：1圆的圆心坐标为_,半径r=_.2已知圆的圆心坐标为（-2，3），半径为4，则D，E，F的值分别是_.3若方程表示的图形是圆,则实数k的取值范围是_.4经过点O(0，0)，A(2，0)，B(0，4)的圆的一般方程是_.5经过两点O(0，0)，A(2，2)的所有圆中面积最小的圆的一般方程为_.6若圆与y轴切于原点，则D，E，F满足_.7求满足下列条件的圆的一般方程：a) 经过点A（4，1），B（-6，3），C（3，0）；b) 在轴上的截距分别为1和3，在y轴上的截距为-1. 8.点A是圆C：上任意一点，且A关于直线的对称点也在圆C上，求实数的值.2.2.2 直线与圆的位置关系学习目标1.依据直线和圆的方程，能够熟练的写出它们的交点坐标；2.能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线和圆的位置关系；3.理解直线和圆的方程组成的二元二次方程组的解的对应关系学习过程一 学生活动问题1直线和圆的位置关系有几种情况？直线和圆的位置关系是用什么方法研究的？问题2我们在解析几何中已经学习了直线的方程和圆的方程分别为，怎样根据方程判断直线和圆的位置关系呢？如何求直线和圆的交点坐标？二 建构知识考察方程组的解我们通常有如下结论：相离相切相交方程组_解方程组_解方程组有_解drdr三 知识运用例题例1 求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系例2 自点作圆的切线，求切线的方程变式训练：（1）自点作圆的切线，求切线的方程（2）自点作圆的切线，求切线的方程例3 求直线被圆截得的弦长1巩固练习1判断下列各组中直线与圆的位置关系：（1），；_；（2），；_；（3），_2若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是3（1）求过圆上一点的圆的切线方程；（2）求过原点且与圆相切的直线的方程四 回顾小结通过解方程组来判断交点的个数；通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断圆与直线的位置关系五 学习评价双基训练1.直线l：2x+3y-6=0与圆C：的位置关系为 2.圆上的点到直线3