高中数学5.3不等式的证明5.3.3反证法同步测控.docx

5.3.3 反证法同步测控我夯基，我达标1.命题“ABC中,若AB,则ab”的结论的否定应该是( )A.ab的否定为“a不大于b”,即ab.答案:B2.如果两个实数之和为正数,则这两个数( )A.一个是正数,一个是负数 B.都是正数C.至少有一个是正数 D.都是负数解析:两个都是正数满足;一个是正数,一个是负数也有可能满足,如a=5,b=-3,a+b=20.答案:C3.设a、b、cR+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若P、Q、R同时大于零,则PQR0成立;反过来,若PQR0,且P、Q、R不同时大于零,则其中两个为负数,一个为正数,不妨设P0,Q0,R0,b+c-a0,c+a-b0.2c0,即c0矛盾.P、Q、R同时大于零.“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的充要条件.答案:C4.设a、b、cR+,则三个数a+,b+,c+满足( )A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2解析:假设a+,b+,c+都小于2,则(a+)+(b+)+(c+)6.又a、b、cR+,a+2,b+2,c+2.(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)6,矛盾.假设不成立.a+,b+,c+至少有一个不小于2成立.但不一定都大于2,例如a=1,b=1,c=,则a+=2.答案:D5.用反证法证明命题“如果ab,那么”时,假设的内容为( )A. B.C.或 D.且解析:yz且x+y+z=1,则下列不等式中恒成立的是( )A.xyyz B.xzyzC.xyzy D.xyxz解析:由xyz且x+y+z=1,得x0.假设x0.xyz,y0,z0.x+y+z0.又yz,xyxz成立.答案:D7.已知a、bR,那么“a2+b2a+b”的( )A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若a2+b21,则a1,b1.假设ab+1a+b,则(a-1)ba-1.(a-1)(b-1)0.又a1,b1,a-10,b-10,与(a-1)(b-1)0矛盾.由a2+b2a+b成立.若ab+1a+b成立,则(a-1)(b-1)0.或由得a2+b21,a2+b21不成立.答案:C8.设a、b、c、d是正数,求证:不等式a+bc+d;(a+b)(c+d)ab+cd;(a+b)cdab(c+d)中至少有一个不正确.证明:假设不等式都正确,即都成立.a、b、c、d是正数,则由得(a+b)2ab+cd. 由得(a+b)cdab(c+d)()2(c+d).4cd(a+b)(c+d)ab+cd.3cdab,即cdab.由得(a+b)2ab+ab,即(a+b)2ab,即a2+b2-ab,与事实矛盾.假设不成立,即中至少有一个不正确.我综合，我发展9.若0a1,求证:+9.分析:可用反证法,或构造基本不等式证明.证法一:假设+9,0a0.两边同乘a(1-a),得(1-a)+4a9a(1-a),即9a2-6a+10,即(3a-1)20,与(3a-1)20矛盾.假设不成立.+9成立.证法二:0a0.+=+1+4+=5+5+2=5+22=9,即+9成立.10.若0,求证:+.分析:本题不能用基本不等式证明,可用反证法证明.证明:假设+0,不等式为2-+10,即42-17+40.(-4)(4-1)0.4,与01,求证:a、b、c、d中至少有一个是负数.分析:本题是关于“至少”问题,情况较多,可用反证法.证明:假设a、b、c、d都是非负数,即a0,b0,c0,d0.a+b=c+d=1,(a+b)(c+d)=1.(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc=(ac+bd)+(ad+bc)=1,ac+bd=1-(ad+bc).a0,d0,b0,c0,ad+bc0.-(ad+bc)0.1-(ad+bc)1,即ac+bd1,与ac+bd1矛盾.假设不成立.a、b、c、d中至少有一个是负数.12.已知a、b、cR+,求证:2()3().分析:要证明的不等式比较复杂,可用反证法.证明:假设2()3()成立,即a+b-2a+b+c-3,c+23.又a、b、cR+,c+2=c+3=3,与c+23矛盾.假设不成立.2()3()成立.我创新，我超越13.设a、bR,0x1且0y1,求证:对于任意实数a、b,必存在满足条件的x、y,使xy-ax-by成立.分析:本题为“存在性”问题,可用反证法证明.证明:假设不存在x、y使xy-ax-by成立,即对于所有的0x1,0y1,使得xy-ax-by成立.令x=0,y=1,得b;令x=1,y=0,得a;令x=y=1,得1-a-b1-=,与1-a-b2,则a2-ab+b2=(a-b)2+b20.当且仅当a=b=0时取“=”,但a3+b3=2,不能取“=”.a2-ab+b20.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,22(a2-ab+b2),即a2-ab+b2a2+b22ab.ab1.a2+b21+ab2.(a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4.a+b2矛盾.假设不成立.a+b2成立.证法二:假设a+b2,则a2-b.2=a3+b3(2-b)3+b3,=8-12b+6b2-b3+b3,即(b-1)22,则(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)8,即3a