2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念学案 新人教B版第三册.doc

8.1.1向量数量积的概念学 习 目 标核 心 素 养1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义(难点)2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系(重点)3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直(重点，难点)1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.1.两个向量的夹角给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点o，作a，b，则称0，内的aob为向量a与向量b的夹角，记作a，b(1)两个向量夹角的取值范围是0，且a，bb，a(2)当a，b时，称向量a与向量b垂直，记作ab.2.向量数量积的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称|a|b|cosa，b为向量a与b的数量积(也称为内积)，即ab|a|b|cosa，b(1)当a，b时，ab0; 当a，b时，ab0；当a，b时，a b0.(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：不等式|ab| |a|b|恒等式aaa2|a|2，即|a|向量垂直的充要条件ab ab03.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos a，b为向量a在向量b上的投影的数量(3)两个非零向量a，b的数量积ab，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积这就是两个向量数量积的几何意义1.已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为()abcdd向量a在b方向上的投影为|a|cosa，b3cos .故选d2.在abc中，a，b，且ba0，则abc是()a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d无法确定c在abc中，因为ba0，所以ba，故abc为直角三角形3.如图，在abc中，的夹角与，的夹角的关系为_互补根据向量夹角定义可知向量，夹角为bac，而向量，夹角为bac，故二者互补4如图所示，一个大小为5 n，与水平方向夹角37的拉力f作用在小车上，小车沿水平方向向右运动运动过程中，小车受到的阻力大小为3 n，方向水平向左小车向右运动的距离为2 m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化求在此过程中：拉力f对小车做的功(取cos370.8)为_小车克服阻力做的功为_8 j6 j拉力f对小车做的功wffscos 520.8 j8 j，小车克服阻力做的功为w克fwf32 j6 j 平面向量的夹角【例1】(1)(2019东营高一检测)已知向量|a|2，|b|，且ab3，则a，b()abcd (2)已知abc中， ab4，bc2，4，则向量与的夹角为_， 向量与的夹角为_思路探究(1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角(2)先由向量的数量积公式计算b，再由平面几何性质计算acb，bac，最后求向量的夹角(1)d(2)90150 (1)因为向量|a|2，|b|，且ab3，所以cos a，b，又a，b0, ，所以a，b.(2)在abc中，因为ab4，bc2，4，所以|cos ，4，得42cos(b)4，所以cos b，得b60.如图，延长bc到d，使cdbc，则abd为等边三角形，所以acbc，bac30，所以向量与的夹角为90，与的夹角为150.求平面向量的夹角的方法技巧(1)已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算cos a，b，若是特殊角，再求向量的夹角.(2)在abc中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.1.若两个单位向量的数量积等于1，则这两个单位向量的夹角为()a0 b c dd设两个单位向量分别为e1，e2，则e1e2cos e1，e21，由于e1，e20, ，所以e1，e2.2.已知a是单位向量，且3ab|b|，则sina，b_.因为a是单位向量，且3ab|b|，则3|a|b|cos a，b|b|，得cos a，b， 又sin2a，bcos 2a，b1，得sin2a，b.又0a，b，得sina，b.与向量数量积有关的概念【例2】(1)以下四种说法中正确的是_(填序号)如果ab0，则a0或b0；如果向量a与b满足ab0，则a与b所成的角为钝角；abc中，如果0，那么abc为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量，则a2b2.(2)已知等腰abc的底边bc长为4，则_.思路探究根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)(2)8(1)由数量积的定义知ab|a|b|cos (为向量a，b的夹角)若ab0，则90或a0或b0，故错；若ab0，则为钝角或180，故错；由0知b90，故abc为直角三角形，故正确；由a2|a|21，b2|b|21，故正确(2)如图，过点a作adbc，垂足为d因为abac，所以bdbc2，于是|cosabc|42，所以|cosabc428.1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.3.给出下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长其中正确的是_(填序号)由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，故正确；a，b共线ab|a|b|，所以不正确；对于应有|a|b|ab，所以不正确；对于，应该是aaa|a|2a，所以不正确；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的正投影的数量，而非投影长，故错综上可知正确平面向量数量积的几何意义【例3】(1)(2019永州高一检测)已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则a与b的夹角为()a30b60 c120d150(2)已知平面向量|a|2，|b|6且ab4，则a在b上投影的数量为_，b在a上投影的数量为_思路探究(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos a，b，再求向量的夹角(2)先由平面向量数量积的公式计算cos a，b，再计算投影的数量(1)a(2)2(1)因为向量b的模为1.且b在a方向上的投影的数量为，则|b|cos a，b，得cos a，b，因为a，b0, ，所以a，b30.(2)因为平面向量|a|2，|b|6且ab4，所以|a|b|cos a，b4，得cos a，b.所以a在b上投影的数量为|a|cos a，b，b在a上投影的数量为|b|cos a，b2.关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项(1)向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数.(2)向量a在向量b上的投影的数量是|a|cos a，b，向量b在向量a上的投影的数量是|b|cosa，b，二者不能混为一谈.4(2019青岛高一检测)如图，圆心为c的圆的半径为r，弦ab的长度为2，则 的值为()arb2r c1d2d如图，作ab的中点h，连接ch，则向量在方向上的投影的数量为ah|cos cab，所以|cos cab|2.5已知向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|3，则ab_.6因为向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|3，则ab|a|b|cos a，b(|a|cos a，b)|b|236.1.对正投影的三点诠释(1)ab等于|a|与b在a方向上的正投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的正投影的乘积其中a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影是不同的(2)b在a方向上的正投影为|b|cos (是a与b的夹角)，也可以写成 .(3)正投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零2.知识导图向量数量积1.已知平面向量|a|2，|b|3，a，b，则ab()a2b3c6d0b因为|a|2，|b|3，a，b，则ab|a|b|cos 233.2.已知平面向量|a|1，|b|2，则a2b2()a2b3 c5d5c因为|a|1，|b|2，所以a2b2|a|2|b|25.3.已知向量|a