高二数学 曲线与方程课件选修2.ppt

曲线和方程 两坐标轴所成的角位于第一 三象限的平分线的方程是 这就是说 如果点m x0 y0 是这条直线上的任意一点 它到两坐标轴的距离一定相等 即x0 y0 那么它的坐标 x0 y0 就是方程x y 0的解 反过来 如果 x0 y0 是方程x y 0的解 即x0 y0 那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等 它一定在这条平分线上 这样 我们就说x y 0是这条直线的方程 这条直线叫做方程x y 0的直线 试一试 说明圆心为p a b 半径等于r的圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 1 设m x0 y0 是圆上任意一点 因为点m到圆心的距离等于r所以也就是 x0 a 2 y0 b 2 r2即 x0 y0 是方程 x a 2 y b 2 r2的解 2 设 x0 y0 是方程 x a 2 y b 2 r2的解 则有 x0 a 2 y0 b 2 r2两边开方取算术根 得即点m x0 y0 到点p的距离等于r 所以点m是这个圆上的点 由 1 2 可知 x a 2 y b 2 r2是圆心为p a b 半径等于r的圆的方程 一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形 说明 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点 也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 由曲线的方程的定义可知 如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p0 x0 y0 在曲线c上的充要条件是 f x0 y0 0 问题研讨 例1判断下列结论的正误并说明理由 1 过点a 3 0 且垂直于x轴的直线为x 3 2 到x轴距离为2的点的轨迹方程为y 2 3 到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy 1 对 错 错 变式训练 写出下列半圆的方程 条件甲 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 条件乙 曲线c是方程f x y 0的曲线 则甲是乙的 a 充分非必要条件 b 必要条件 c 充要条件 d 非充分也非必要条件 b 若命题 曲线c上的点的坐标满足方程f x y 0 是正确的 则下列命题中正确的是 a 方程f x y 0所表示的曲线是c b 坐标满足f x y 0的点都在曲线c上 c 方程f x y 0的曲线是曲线c的一部分或是曲线c d 曲线c是方程f x y 0的曲线的一部分或是全部 d 例2设a b两点的坐标分别是 1 1 3 7 求线段ab的垂直平分线的方程 a b l m x y 求曲线方程的步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 复习回顾 曲线的方程和方程的曲线的概念 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解满足下列关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 这个方程叫做曲线的方程 这个曲线叫做方程的曲线 求曲线方程的一般步骤 1 建系 建立适当的坐标系 用m x y 表示曲线上任意一点 几何列式 写出满足条件的点 的集合 m 代数方程 将 点坐标 x y 代入几何条件 列出方程f x y 0 4 化简 化方程为最简形式 证明 验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹 1 直接法 动点运动的规律简单 明确 易于表达 可将条件直接写成关于 x y 的关系式 例1 长为2a a是正常数 的线段ab的两端点a b分别在互相垂直的两条直线上滑动 求线段ab中点m的轨迹 例 求平面内到两个定点 b的距离之比等于 的动点 的轨迹方程 变题 求平面内到两个定点 b的距离之比等于的动点 的轨迹 课本p571 2 这个方法又叫相关点法或坐标转移法 即利用动点p x y 是定曲线f x y 0上的动点 另一动点p x y 依赖于p x y 那么可寻求关系式x f x y y g x y 后代入方程f x y 0中 得到动点p的轨迹方程 2 代入法 例3 已知点a 2 0 点p在圆x2 y2 1上 ap的中点为q 求点q的轨迹方程 提示 利用 定比分点坐标公式 变题 已知点a 2 0 点p在圆x2 y2 1上半圆周上 即y 0 aop的平分线交pa于q 求点q的轨迹方程 已知 abc a 一2 0 b 0 一2 第三个顶点c在曲线y 3x2 1上移动 求 abc的重心的轨迹方程 同类变式 练习 课时训练13例1 设抛物线过点a 0 2 且以x轴为准线 求抛物线顶点m的轨迹的方程 3 几何法 就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 例4 已知线段labl a 端点a在x轴正半轴上 包括原点 运动 端点b在射线l x o 上运动 过点a且垂直于x轴的直线与过点b且垂直于直线l的直线相交于p 求p点的轨迹方程 求出轨迹方程后 注意考查曲线的完备性和纯粹性 以防 疏漏 和 不纯 本例容易忽视考虑纯粹性 即漏掉o x a y 0 同类变式 线段ab长为a b 其中a 0 b 0 其两端点a b分别在x轴 y轴上 p为ab上的一个定点 且 bp a 求当a b分别在两轴上滑动时点p的轨迹方程 4 参数法 根据题中给定的轨迹条件 用一个参数来分别表示动点的坐标x和y 间接地把坐标x和y联系起来 得到用参数表示的方程 如果消去参数 就可以得到轨迹的普通方程 例 已知抛物线y2 2x过点 作一直线交抛物线于 两点 试求弦 的中点的轨迹方程 如图 三定点a 2 1 b 0 1 c 2 1 三动点d e f满足 t 0 1 1 求动直线de斜率的变化范围 2 求动点m的轨迹方程 2006陕西 x y o a b c e m d 例 在边长为a的正方形abcd中 ab bc边上各有一个动点q r 且 bq cr 试求直线ar与dq的交点p的轨迹方程 解析 建立直角坐标系后 注意到 bq cr 即 aq br 而p为两直线ar与dq的交点因而应引进参数 用参数法求其轨迹方程 5 交轨法 在求动点轨迹时 有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题 常常通过解方程组得出交点 含参数 的坐标 再消去参数求出所求轨迹的方程 已知两点p 2 2 q 0 2 以及一条直线l y x 设长为的线段ab在直线l上移动 求直线pa和qb的交点m的轨迹方程 同类变式 椭圆x2 a2 y2 b2 1 a b 0 的左右顶点分别为a b mn为垂直于长轴ab的弦 求am与bn的交点的轨迹方程 思考题 求证 不论m取任何实数 方程 3m 4 x 5 2m y 7m 6 0所表示的曲线必经过一个定点 并求出这一点的坐标 1 全国高考题 已知点q 2 0 和圆c x2 y2 1 动点m到圆c的切线长等于圆c的半径与 mq 的和 求动点m的轨迹方程 直译法 代入法 2 如图 已知点p 4 0 在圆x2 y2 36内 a b是圆上两动点 且满足 apb 90