随机信号分析课件-3.ppt

随机信号分析 水声工程学院电学中心 第3章平稳随机过程的谱分析 引言在许多领域的理论与实际应用中 广泛应用到傅立叶变换这一工具 一方面由于确定性信号的频谱 线性系统的频率响应等具有鲜明的物理意义 另一方面 在时域上计算确定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算 转换到频域上分析时 可以变换成简单的乘积运算 从而使运算量大为减少 因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具 在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换 随机信号是否存在某种谱特征 回答是可以 不过在随机信号情况下 必须进行某种处理以后 才能应用傅立叶分析这一工具 因为一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件 即 3 1随机过程的谱分析3 1 1确定性信号谱分析的简单回顾x t 是时间t的非周期函数 x t 的傅立叶变换存在的充要条件是 1 x t 在范围内满足狄利赫利条件 2 x t 绝对可积 即3若x t 代表信号 则x t 信号的总能量有限 即 满足上述三个条件 则x t 的傅立叶变换存在 由傅立叶反变换 x t 可以表示为 则可以得到 如果x t 表示的是电压 则上式左边代表x t 在时间内的总能量 因此等式右边的被积函数表示了信号能量按频率分布的情况 称为能谱密度 3 1 2随机过程的功率谱密度样本函数x t 不满足绝对可积的条件 但功率是有限的因此 可以研究随机过程的功率谱 样本函数x t 的截取函数 截取函数的傅立叶变换截取函数应满足帕塞瓦定理两边同除以2T可得 取集合平均可得随机过程的平均功率 两个结论1 随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到 若随机过程广义平稳2 若随机过程广义平稳 3 1 3功率谱密度与复频率面在系统分析中 常用复频率表示更为方便 最简单的情况是 0 s j 沿复频率面s在虚轴j 的变化与 沿实轴的变化相一致 二者只是符号的一致 各自的函数形式并不相同 例题 用复频率表示功率谱 解 3 2平稳随机过程功率谱密度的性质3 2 1功率谱密度的性质1 功率谱密度为非负的 即2 功率谱密度是 的实函数 3 对于实随机过程来说 功率谱密度是 的偶函数 即 截取函数为t的实函数 根据傅立叶变换的性质于是4 功率谱密度可积 即 3 2 2谱分解定理功率谱表示成两个多项式之比 零极点的性质 1a 为实数 2SX s 在虚轴上无极点 3SX s 中M N 功率谱可以分解为两项之积 例题 广义平稳随机过程X t 具有功率谱密度 求随机过程的均方值 解 1 3两个极点的留数为 3 3功率谱密度与自相关函数之间的关系功率谱密度的表达式为其中功率谱密度可表示为 由得 对于广义平稳随机过程则 维纳 辛钦定理 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度皆为偶函数 例3 考虑随机电报信号 它是广义平稳随机过程 具有自相关函数为求过程的功率谱密度 解 利用维纳 辛钦公式 并分两段进行积分 例4 已知平稳随机过程X t 具有功率谱密度为求该过程的自相关函数和均方值 解 双边带功率谱密度 功率谱密度分布在整个频率轴上 称为双边带功率谱密度 单边带功率谱密度 功率谱密度只定义在零和正的频率轴上 成为单边带功率谱密度 单边带功率谱密度与双边带功率谱密度之间的关系为 广义平稳随机过程的均方值与其单边带功率谱密度的关系 在以后 如不加说明 都指双边带功率谱密度 平稳随机过程自相关函数和功率谱密度对应关系 几种常见平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度对照表 3 4平稳随机过程的采样定理X t 为平稳随机过程 具有零均值 它的功率谱密度为当满足条件时 变可将它的振幅样本展开为X n 功率谱密度与X t 的功率谱密度之间的关系为 3 5联合平稳随机过程的互谱密度3 5 1互谱密度定义两个截取函数为二者满足绝对可积的条件 则 定义两随机过程的互功率为应用帕塞瓦定理 下面求平均功率 得平均功率 互功率谱密度定义为3 5 2互谱密度与互相关函数的关系1 对于实随机过程X t Y t 有 2 若X t Y t 联合平稳 有 3 5 3互谱密度的性质1 2 3 4 若X t Y t 正交 则 5 若X t Y t 不相关 6 3 6白噪声随机过程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来分类 就概率密度而言 正态分布的随机过程占有重要地位 就功率谱密度来说 具有均匀功率谱密度的白噪声非常重要 3 6 1理想白噪声若N t 为一个具有零均值的平稳随机过程 其功率谱密度均匀的分布在整个频率区间 即其中N0为一个正实常数 则称N t 为白噪声过程或简称白噪声 白 字借用光学中的 白光 术语 因为白光中包含所有可见光的频率分量 利用维纳 辛钦定理 不难测到白噪声的自相关函数为 上式说明 白噪声的自相关函数是一个 函数 其面积等于功率谱密度 如图所示 白噪声的自相关系数为以上说明 白噪声在任何两个相邻时刻的取值都是不相关的 这就意味着白噪声过程随时间的起伏极快 过程的功率谱密度极宽 上面定义的只是一种理想化模型 实际上 白噪声是不存在的 因为均方值 而物理上存在的随机过程 其均方值总是有限的 尽管如此 由于白噪声在数学处理上具有简单 方便等优点 因此它在诸如线性系统分析等实际应用中 仍占有极其重要的地位 在实际工作中 当研究随机过程通过某一系统时 只要过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布 就可以把它作为白噪声来处理 而不会带来太大的误差 电子设备中的起伏过程 许多都可以认为是白噪声 例如电阻的热噪声 晶体管的散粒噪声等 在相当宽的频率范围内都具有均匀的功率谱密度 故可把它们看成是白噪声 3 6 2限带白噪声如果一个具有零均值的平稳随机过程X t 其功率谱密度在某一个频率范围内均匀分布 而在此频率范围外为零 则称这个过程为限带白噪声 限带白噪声又可以分为低通型和带通型 若过程的功率谱密度满足则称此过程为低通型限带白噪声 自相关函数为 带通型限带白噪声的功率谱密度为应用维纳 辛钦定理 可得到响应的自相关函数为限带白噪声的产生方法 白噪声通过理想带通滤波器 3 6 3色噪声按功率谱密度函数形式来区分随机过程 我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或色噪声 本章小结 随机过程的功率谱密度 随机过程的谱分析 傅立叶变换 帕塞瓦等式