巧用旋转法解几何题.doc

学习资料收集于网络，仅供参考巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。例1如图,在RtABC中，C=90，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DEDF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EGAD=DB，ADG=BDFADGBDF（SAS）DAG=DBF，BF=AG AGBC C=90EAG=90EG2=AE2+AG2=AE2+BF2DEDFEG=EFEF2=AE2+BF2例2，如图2，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。解：作MCCP，使MC=CP，连接PM，BMACB=90，PCM=901=2AC=BC， CAPCBM（SAS）MB=AP=3PC=MC，PCM=90MPC=45由勾股定理PM=2，在MPB中，PB2+PM2=（2）2+12=9=BM2MPB是直角三角形BPC=CPM+MPB=45+90=135例3，如图3，直角三角形ABC中，AB=AC，BAC=90,EAF=45，求证：EF2=BE2+CF2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE，CF转移到同一个直角三角形中，由于BAC是等腰直角三角形，不妨以A为旋转中心，将BAE和CAF合在一起，取零为整。A证明：过A作APAE交BC的垂线CP于P，连结PFEAP=90，EAF=45PAF=45BAC=90 BAE=PACAB=AC， B=ACB=ACP=45ABEACP（ASA）PC=AE，AP=AEAEFAPF（SAS）EF=PF故在RtPCF中，PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+AE2例4，如图4，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且EBF=45，BMEF于M，求证：BA=BM分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45角，可利用相同的方法，将ABE和CBF“化散为整”来构造全等三角形。证明：延长FC到N，使CN=AE，连结BN四边形ABCD是正方形AB=AC，BAC=90EBF=45ABE+CBF=45由ABECBN知BE=BN，CBN=ABECBN+CBF=45，即EBF=NBF又BE=BN，BF=BFEBFNBF（SAS）BM=BCBM=BA例5、如图6，五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180。求证：ADEADC。解析：条件中有共点且相等的边AE和AB，可将ADE以点A为中心，顺时针方向旋转BAE的角度到AFB的位置，如图7。这就使已知条件ABCAED180和BCDECD通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。由ADEAFB，得AEDABF，ADEAFB，EDBF，AFAD。由ABCAED180，得ABCABF180。所以C、B、F三点共线。又CDBCDEBCBFCF，故CFDCDF。由AFAD，得到DFAFDA。ADEAFBCFDDFACDFFDAADC。例6、如图，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=，PC=4，求ABC的边长。分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中，为此可将BPA绕B点逆时针方向旋转60可得BHC。解：把BPA绕B点逆时针方向旋转60得到BHC。因为BP=BH，PBH=60所以BPH是等边三角形所以BPH=60，所以BP=PH又因为HC=PA=2，PC=4所以所以HCP是Rt，所以CHP=90又因为HC=2，PC=4所以HPC=30又因为BPH=60，所以CPB=90在RtBPC中，=12+16=28,，那么ABC的边长为。例7、如图2，O是等边三角形ABC内一点，已知：AOB=115，BOC=125，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将BOC绕B点按逆时针方向旋转60可得BMA。因为BO=BM，MBO=60所以BOM是等边三角形，所以1=2=60又因为AOB=115，所以MOA=55又因为AMB=COB=125所以AMO=65又因为AM=OC，MO=BO所以AMO正好是以AO、OC、BO为边组成的三角形，所以MAO=180（55+65）=180120=60即：以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55、65、60。例8、如图4，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合，若PB=3，求的长。分析：将ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合，实际上就是把ABP顺时针方向旋转90可得，即90。解：因为90。所以。例9、如图5，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求APB的度数。分析：PA：PB：PC=1：2：3，不妨设PA=1，PB=2，PC=3，而这些条件较分散，可设法把PA、PB、PC相对集中起来即把BCP绕B点顺时针方向旋转90得到BAE。解：因为BP=BE，PBE=90所以，所以又在APE中，即所以APE=90即APB=90+45=135所以APB=135。例10、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为2，求PCQ的度数。解：把CDQ绕点C旋转90到CBF的位置，CQ=CF。因为AQ+AP+QP=2又AQ+QD+AP+PB=2所以QD+BP=QP又DQ=BF，所以PQ=PF所以所以QCP=FCP又因为QCF=90，所以PCQ=45。由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转