数学人教版九年级上册垂径定理及其推论.docx

垂径定理及其推论（导学案）姓名_ 班级_ 学号_学习目标：1、在原有基础上进一步理解垂径定理及其推论；（1） 知道垂径定理及其推论是在圆的对称性基础上推导出来的；（2） 能用自己的话归纳垂径定理及其推论内容（四个元素），形成口诀（知二推二）；2、 能运用垂径定理及其推论解决有关求半径、弦长等问题；（1） 掌握连半径、作垂直等圆中常用辅助线方法；（2） 形成构造直角三角形、运用勾股定理解题等思路通法；3、在垂径定理的背景下，能运用其他方法（如图形变换），解决一些几何最值问题。学习重点：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决有关数学问题。学习难点：在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形。一、知识梳理四个元素： （1）直径（过圆心） （2）垂直于弦 （3）平分弦（此弦非直径） （4）平分弦所对的弧1、在上述四个元素中，只要知道其中几个元素，就可以推出其余元素呢？能否用简单的口诀来归纳呢？2、运用垂径定理及推论求半径、弦、弦心距等问题时，通常用到哪些辅助线？构成什么几何图形来解题？二、 探究活动探究一：如图，在O中，半径为10，OCAB于点D，OD8，求AB的长。解：如图，连接OA，则OA=10 OCAB于点D 在RtAOD中，由OA=10，OD=8 可得 AD=OA2-OD2=102-82=6由垂径定理可得：AB=2AD=12变式1：如图，在O中，AB=16，OCAB于点D，CD=4，求半径。解：如图，连接OA，设OA=OC=x 在O中，AB=16，OCAB于点D 由垂径定理可得：AD=12AB=8 OC=x,CD=4 0D=x-4在RtAOD中，OA=x，OD= x-4,AD=8 由勾股定理可得：0A2=OD2+AD2, 即 x2=(x-4)2+82解得：x=10 O的半径为10。变式2：如图，在变式1的条件下，连结AO并延长交O于点E，连结ED，求ED的长。思路分析：1、运用变式1的方法可以求出半径OA=10； 2、连结EB，可知AEB是直角三角形,由AB=16，AE=2OA=20，解RtAEB可得 EB=123、由垂径定理可得BD=AD=8，且EB=12解RtBED可得：ED=413变式3：一条排水管的界面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD的长度。思路分析：过点O作AB的垂线段，分别交 AB,CD于点F、E1、 在RtAOF中，由OA=1，AF=BF=O.6可得：OF=0.82、 在在RtCOE中，由OC=OA=1，OE=0.8-0.2=0.6可得：CE=0.83、由垂径定理可得：CD=2CE=1.6 （m）探究二：如图，AB、CD是半径为5的O两条弦，其中AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值。解：如图1，连结BC，交MN于点P，连结PA,由条件可知此时点P满足PA+PC的值最小。过点C作AB的垂线段， 垂足为点K。如图2，连结OA,OC ABMN于点E，AB=8；CDMN于点F，CD=6 由垂径定理可得：AE=BE=4，CF=DF=3 在RtAOF中，由OA=5，AE=4 可得：OE=3 在RtCOF中，由OC=5，CF=3 可得：OF=4 EF=OE+OF=3+4=7如图1， AK=AE-KE=AE-CF=4-3=1 BK=AB-AK=8-1=7 CK=EF=7 在RtCKB中，由BK=7，CK=7 可得：BC=72 PA+PC=PB+PC=72PA+PC的最小值为72变式：如图，在探究二的条件下，P、Q为线段EF上的任意一点，且PQ=4，求QA+PC最小值。思路分析：1、如图1，过点C作CCMN，且CC=4，连结CB交EF于点Q，QP=4，连结QA，PC，此时满足QA+PC的值最小。 2、如图2，由探究二可得：CK=EF=7，BK=7，CK=7-4=3 3、在RtCKB中，由BK=7，CK=3 可得：B C=58 4、QA+PC的最小值为58【解题秘诀】探究二在垂径定理的背景下，求距离之和的最小值，借助了哪些图形变换来解决问题？三、 课时小结1、 如何理解垂径定理及其推论的四个元素，口诀是什么？2、 运用垂径定理及其推论求半径、弦、弦心距等问题时，解题步骤是什么？3、这节课你还有什么收获？四、 课后作业【A组】1、如图1，O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（ ） A.3OM5 B.3OM5 C.4OM5 D.4OM52、如图2，AB是O的弦，OCAB于点C，若AB=8，OC=3，则半径OB的长为（ ）A.3 B.4 C.5 D.103、如图3，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，A=22.5，OC=4，则CD的长为（ ）A. B.4 C. D.84、如图4，已知O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP2 cm，则tanOPA的值是_【B组】1、 如图1，AB，AC都是圆O的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为M，N， MN3， BC_2、如图2，O过点B、C，圆心O在等腰直角ABC的内部，BAC900，OA1，BC6，则O的半径为（ ）A. B. C. D.3、如图3，在平面直角坐标系中，P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )A(5，3) B(5，4) C(3，5) D(4，5)4、已知O的半径为13cm，弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ） A17cm B7 cm C12 cm D17 cm或7 cm 【C组】1如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分ABC；(2)当ODB30时，求证：BCOD.2、如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U