2020新课标高考艺术生数学复习：直线、平面垂直的判定与性质含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：直线、平面垂直的判定与性质含解析编 辑：_时 间：_第5节直线、平面垂直的判定与性质最新考纲核心素养考情聚焦1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点、认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1.垂直关系的基本问题、达成直观想象、逻辑推理的素养2.直线与平面垂直的判定与性质及平面与平面垂直的判定与性质的理解与运用、增强直观想象、逻辑推理和数学抽象的素养3.线面角与二面角的求解、 提升逻辑推理和数学运算的素养2020年高考证明垂直的题型预计有两类：1.线面垂直的判定与证明2.利用线面垂直性质证明线面垂直或面面垂直是高考重点考查内容、主要以解答题形式出现、属中低档题型3.证明垂直问题可以用常规法证明、也可以通过建立空间直角坐标系、利用向量数量积证明1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直、就说直线l与平面互相垂直文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直、则该直线与此平面垂直l性质定理两直线垂直于同一个平面、那么这两条直线平行ab(2)判定定理与性质定理2.直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面、我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内、我们说它们所成的角是0角因此、直线与平面所成的角的范围是.3二面角(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：如下图、在二面角l的棱l上任取一点P、以点P为垂足、在半平面、内分别作垂直于棱l的射线PA和PB、则射线PA和PB构成的APB叫做二面角l的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量、二面角的平面角是多少度、就说这个二面角是多少度我们约定、二面角的取值范围是0、.平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)找二面角的平面角的方法垂面法：由二面角的平面角的定义知、只需作与棱垂直的平面、则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线、然后平移到一起、两射线的夹角即二面角的平面角4平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交、如果它们所成的二面角是直二面角、就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线、则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直、则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l1.若一条直线垂直于一个平面、则这条直线垂直于这个平面内的任意直线2若两条平行线中的一条垂直于一个平面、则另一条也垂直于这个平面3垂直于同一条直线的两个平面平行4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)l与平面内的两条直线垂直、则直线l平面.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等、则这两条直线平行()(4)当时、直线l过内一点且与交线垂直、则l.( )(5)若两个平面垂直、则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1设、是两个不同的平面、l、m是两条不同的直线、且l、m()A若l、则B若、则lmC若l、则D若、则lm解析：A选项A、l、l、A正确；选项B、l、m、l与m的位置关系不确定、B错误；选项C、l、l、或与相交、C错误；选项D、l、m、此时、l与m的位置关系不确定、D错误故选A.2(20xx全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中、E为棱CD的中点、则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析：C根据三垂线逆定理、平面内的线垂直平面的斜线、那么也垂直于斜线在平面内的射影、A.若A1EDC1、那么D1EDC1、很显然不成立；B.若A1EBD、那么BDAE、显然不成立；C.若A1EBC1、那么BC1B1C、成立、反过来BC1B1C时、也能推出BC1A1E、所以C成立、D.若A1EAC、则AEAC、显然不成立、故选C.3.已知如图、六棱锥PABCDEF的底面是正六边形、PA平面ABC.则下列结论不正确的是()ACD平面PAFBDF平面PAFCCF平面PABDCF平面PAD解析：DA中、因为CDAF、AF平面PAF、CD平面PAF、所以CD平面PAF成立；B中、因为ABCDEF为正六边形、所以DFAF.又因为PA平面ABCDEF、所以PADF、又因为PAAFA、所以DF平面PAF成立；C中、因为CFAB、AB平面PAB、CF平面PAB、所以CF平面PAB；而D中CF与AD不垂直4人教A版教材P67T2改编在三棱锥PABC中、点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC、则点O是ABC的_心；(2)若PAPB、PBPC、PCPA、则点O是ABC的_心解析：(1)如图、连接OA、OB、OC、OP、在RtPOA、RtPOB和RtPOC中、PAPCPB、所以OAOBOC、即O为ABC的外心(2)如图、延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于H、D、G.PCPA、PBPC、PAPBP、PC平面PAB、又AB平面PAB、PCAB、ABPO、POPCP、AB平面PGC、又CG平面PGC、ABCG、即CG为ABC边AB上的高同理可证BD、AH分别为ABC边AC、BC上的高、即O为ABC的垂心答案：(1)外(2)垂5将正方形ABCD沿AC折成直二面角后、DAB_.解析：如图、取AC的中点O、连接DO、BO、BD、则DOAC、BOAC、故DOB为二面角的平面角、从而DOB90.设正方形边长为1、则DOBO、所以DB1、故ADB为等边三角形、所以DAB60.答案：60考点一垂直关系的基本问题(自主练透)题组集训1(20xx市模拟)、是两个平面、m、n是两条直线、则下列命题中错误的是()A如果mn、m、n、那么B如果m、那么mC如果l、m、m、那么mlD如果mn、n、m、那么解析：D由、是两个平面、m、n是两条直线、可知：在A中、如果mn、m、n、那么由面面垂直的判定定理得、故A正确；在B中、如果m、那么由面面平行的性质定理得m、故B正确；在C中、如果l、m、m、那么由线面平行的性质定理得ml、故C正确；在D中、如果mn、n、m、那么与相交或平行、故D错误故选D.2(20xx泰安一模)已知m、n是两条不同直线、是三个不同平面、下列命题中正确的是()A若m、n、则mnB若、则C若m、m、则D若m、n、则mn解析：DA、m、n平行于同一个平面、故m、n可能相交、可能平行、也可能是异面直线、故A错误；B、 垂直于同一个平面、故、 可能相交、可能平行、故B错误；C、平行与同一条直线m、故、 可能相交、可能平行、故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行、故D正确故选D.3(20xx全国卷)、是两个平面、m、n是两条直线、有下列四个命题：如果mn、m、n、那么.如果m、n、那么mn.如果、m、那么m.如果mn、那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题是_(填序号)解析：如果mn、m、n、那么、故错误；如果n、则存在直线l、使nl、由m、可得ml、那么mn.故正确；如果、m、那么m与无公共点、则m.故正确；如果mn、那么m、n与所成的角和m、n与所成的角均相等故正确答案：解决垂直关系的基本问题要注意(1)作图要熟练、借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断(2)善于寻找反例、若存在反例、结论就被驳倒了(3)要思考完整、反复验证所有可能的情况、必要时要运用判定或性质定理进行简单说明考点二直线与平面垂直的判定与性质(师生共研)典例(20xx全国卷)如图、长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形、点E在棱AA1上、BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E、AB3、求四棱锥EBB1C1C的体积解(1)由已知得B1C1平面ABB1A1、BE平面ABB1A1、故B1C1BE.又BEEC1、所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190、由题设知RtABERtA1B1E、所以AEBA1EB145、故AEAB3、AA12AE6.作EFBB1、垂足为F、则EF平面BB1C1C、且EFAB3.所以、四棱锥EBB1C1C的体积V36318.1证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性ab、ab；面面平行的性质：a、a；面面垂直的性质、a、la、ll.2证明线面垂直的核心是证线线垂直、而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此、判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想跟踪训练(20xx高考全国卷)如图、四面体ABCD中、ABC是正三角形、ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形、ABBD、若E为棱BD上与D不重合的点、且AEEC、求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解析：(1)证明：取AC中点O、连OD、OB.ADCD、O为AC中点、ACOD.又ABC是等边三角形、ACOB.又OBODO、AC平面OBD、BD平面OBD、ACBD.(2)设ADCD2、AC2、ABCB2.又ABBD、BD2、ABDCBD、AEEC.又AEEC、AC2、AEEC2.在ABD中、设DEx、根据余弦定理cos ADB、解得x、点E是BD的中点、则VDACEVBACE、1.考点三平面与平面垂直的判定与性质(师生共研)典例(20xx全国卷)如图、矩形ABCD所在平面与半圆弧C所在平面垂直、M是C上异于C、D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P、使得MC平面PBD？说明理由直观想象、逻辑推理立体几何证明中体现的核心素养以常见的空间几何体为载体、以空间点、线、面的位置关系为基础、 以相应的概念、定理、性质、法则为出发点、借助几何直观和空间想象、通过逻辑思维和逻辑推理、正确解决立体几何中的证明问题具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理矩形ABCD半圆面CMDADCD着眼点1：由面面垂直推出线面垂直、进而推出线线垂直：AD平面MCNADCMM是半圆弧CD上异于C、D的点CMD90着眼点2：由直角的概念推出线线垂直：CMD90CMMD.着眼点3：由线线垂直推出线面垂直、进而推出面面垂直：CM平面AMD平面AMD平面BMC在线段AM上是否存在点P、使得MC平面PBD猜想点P为AM的中点.着眼点4: 转化为证明线线平行：连接BD、AC交于点O、证明OPMC 证明(1)由已知、BC平面DMC、BCMC、ADBC、ADMC.又DC为半圆的直径、MCMD、又ADMDD.MC平面AMD、MC平面BMC.平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时、MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O、因为ABCD为矩形、所以O为AC中点、连接OP、因为P为AM中点、所以MCOP.又MC平面PBD、OP平面PBD、所以MC平面PBD.1掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直、利用判定定理来证明也可作出二面角的平面角、证明平面角为直角、利用定义来证明2已知两个平面垂直时、过其中一个平面内的一点作交线的垂线、则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面、于是面面垂直转化为线面垂直、由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面、则它们的交线也垂直于第三个平面跟踪训练(20xx全国卷)图1是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形、其中AB1、BEBF2、FBC60.将其沿AB、BC折起使得BE与BF重合、连接DG、如图2.(1)证明：图2中的A、C、G、D四点共面、且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解：(1)由已知得ADBE、CGBE、所以ADCG、故AD、CG确定一个平面、从而A、C、G、D四点共面、由已知得ABBE、ABBC、故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC、所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M、连接EM、DM.因为ABDE、AB平面BCGE、所以DE平面BCGE、故DECG、由已知、四边形BCGE是菱形、且EBC60得EMCG、故CG平面DEM.因此DMCG、在RtDEM中、DE1、EM、故DM2、所以四边形ACGD的面积为4.1(20xx南阳、信阳等六市一模)设直线m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面、下列事件中是必然事件的是()A若m、n、mn、则B若m、n、mn、则C若m、n、mn、则D若m、n、mn、则解析：D若m、n、mn、则、位置关系不确定、选项A不正确；若m、则中存在直线c与m平行、mn、n、则c、又c、选项B不正确；若m、n、mn、则、可以相交、选项C不正确；若m、mn、n、选项D正确故选D.2(20xx市诊断)设、为不同的平面、m、n为不同的直线、则m的一个充分条件是()A、n、mnBm、C、mDn、n、m解析：DA不对、m可能在平面内、也可能与平行；B、C不对、满足条件的m和可能相交、也可能平行；D对、由n、n可知、结合m知m、故选D.3如图、在斜三棱柱ABCA1B1C1中、BAC90、BC1AC、则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上 DABC的内部解析：A连接AC1、ACAB、ACBC1、ABBC1B、AC平面ABC1、又AC平面ABC、平面ABC1平面ABC、点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上、故选A.4(20xx市调研)如图、在正四面体PABC中、D、E、F分别是AB、BC、CA的中点、下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析：D因为BCDF、DF平面PDF、BC平面PDF、所以BC平面PDF、故选项A正确；在正四面体中、AEBC、PEBC、AEPEE、且AE、PE平面PAE、所以BC平面PAE.因为DFBC、所以DF平面PAE、又DF平面PDF、从而平面PDF平面PAE.因此选项B、C均正确5已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直、体积为、底面是边长为的正三角形、若P为底面A1B1C1的中心、则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.解析：B如图、取正三角形ABC的中心O、连接OP、则PAO是PA与平面ABC所成的角因为底面边长为、所以AD、AOAD1.三棱柱的体积为()2AA1、解得AA1、即OPAA1、所以tanPAO、即PAO.6设、是空间中两个不同的平面、m、n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件、余下一个作为结论、写出你认为正确的一个命题：_(填序号)解析：因为当n、m时、平面及所成的二面角与直线m、n所成的角相等或互补、所以若mn、则、从而由正确；同理也正确答案：或7.(20xx市模拟)如图所示、在四棱锥PABCD中、PA底面ABCD、且底面各边都相等、M是PC上的一动点、当点M满足_时、平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知、BDPC.所以当DMPC时、即有PC平面MBD、而PC平面PCD、所以平面MBD平面PCD.答案：DMPC(答案不唯一)8如图、PA圆O所在的平面、AB是圆O的直径、C是圆O上的一点、E、F分别是点A在PB、PC上的正投影、给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_解析：由题意知PA平面ABC、PABC.又ACBC、PAACA、BC平面PAC.BCAF.AFPC、BCPCC、AF平面PBC、AFPB、AFB