2020新课标高考艺术生数学复习：排列与组合含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：排列与组合含解析编 辑：_时 间：_第2节排列与组合最新考纲核心素养考情聚焦1.理解排列、组合的概念2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3.能解决简单的实际问题1.排列问题、增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养2.组合问题、增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养3.分组分配问题、提升数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养预计2020年的高考如果独立考查排列组合、则以选择题、填空题的形式出现；如果联合考查、则会在解答题中与概率分布等综合命题总的来说、难度不大、中档题型排列与排列数组合与组合数定义排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素、按照一定的顺序排成一列、叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组、叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数、叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式排列数公式An(n1)(n2)(nm1)组合数公式C性质An(n1)(n2)321n！；0！1C1；CC；CCC备注n、mN*且mn排列与组合解决排列组合问题“四项基本原则”(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置、优先考虑这些特殊元素或特殊位置(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时、要先取后排、即完整地把需要排列的元素取出后、再进行排列(3)正难则反原则：当直接求解困难时、采用间接法解决问题(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置、这时要先进行分组、再进行分配思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( )(2)An(n1)(n2)(nm) .( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( )(4)若组合式CC、则xm成立( )(5)CCCCCC( )(6)AnA.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(20xx市模拟)考生甲填报某高校专业意向、打算从5个专业中挑选3个、分别作为第一、第二、第三志愿、则不同的填法有()A10种B60种C125种D243种解析：B依题意、满足题意的不同的填法共有A60种、故选B.2(人教版教材P19例4改编)用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A8 B24 C48 D120解析：C分两步：(1)先排个位有A种排法(2)再排前三位有A种排法、故共有AA48(种)排法故选C.3(20xx市模拟)有6个座位连成一排、现有3人就座、则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36种 B48种 C72种 D96种解析：C恰有两个空座位相邻、相当于两个空座位与第三个空位不相邻、先排三个人、然后插空、从而共有AA72(种)坐法故选C.4(20xx高考全国卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛、且至少有1位女生入选、则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：当有1位女生入选时、有CC12(种)、当有2位女生入选时、有CC4(种)、由分类加法计数原理可得不同选法共有12416(种)答案：165将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里、使得每个小盒子里的球的个数不小于盒子的编号、则不同的放球方法共有_种(用数字作答)解析：分类即可、共有CCC21353591(种)放法答案：91考点一排列问题(自主练透)题组集训1(20xx市一模)5位同学站成一排照相、其中甲与乙必须相邻、且甲不能站在两端的排法总数是()A40B36C32D24解析：B甲站第2个位置、则乙站1,3中的一个位置、不同的排法有CA12(种)；甲站第3个位置、则乙站2,4中的一个位置、不同的排法有CA12(种)；甲站第4个位置、则乙站3,5中的一个位置、不同的排法有CA12(种)、故共有12121236(种)故选B.2某学校要召开期末考试总结表彰会、准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言、要求甲、乙2名同学至少有1人参加、那么不同的发言种数为()A840 B720 C600 D30解析：B由题知可分两种情况第一种：甲、乙2人中恰有1人参加、方法种数为CCA480、第二种：甲、乙2人同时参加、方法种数为CA240.根据分类计数原理、不同的发言种数为480240720.故选B.3某办公室共有6人、乘旅行车外出旅行、旅行车上的6个座位如图所示、其中甲、乙2人的关系较为密切、要求在同一排且相邻、则不同的安排方法有_种解析：当甲、乙在第二排且相邻时有4A4432196(种)排法、当甲、乙在第三排且相邻时有AA2432148(种)排法、所以不同的安排方法总数为144种答案：1444(20xx市调研)有3名男生、4名女生、在下列不同要求下、求不同的排列方法总数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排、前排3人、后排4人；(3)全体排成一排、甲不站在排头也不站在排尾；(4)全体排成一排、女生必须站在一起；(5)全体排成一排、男生互不相邻；(6)全体排成一排、甲、乙两人中间恰好有3人解：(1)从7个人中选5个人来排列、有A2 520(种)(2)分两步完成、先选3人排在前排、有A(种)方法、余下4人排在后排、有A(种)方法、故共有AA5 040(种)事实上、本小题即为7人排成一排的全排列、无任何限制条件(3)(优先法)甲为特殊元素先排甲、有5种方法、其余6人有A种方法、故共有5A3 600(种)(4)(捆绑法)将女生看成一个整体、与3名男生在一起进行全排列、有A种方法、再将4名女生进行全排列、也有A种方法、故共有AA576(种)(5)(插空法)男生不相邻、而女生不作要求、应先排女生、有A种方法、再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生、有A种方法、故共有AA1 440(种)(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体、第一步先排甲、乙两人有A种方法、再从剩下的5人中选3人排到中间、有A种方法、最后把甲、乙及中间3人看作一个整体、与剩余2人排列、有A种方法、故共有AAA720(种)求解排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列、同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题、先考虑不受限制的元素的排列、再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题、可先不考虑顺序限制、排列后、再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法考点二组合问题(师生共研)典例某市工商局对35种商品进行抽样检查、已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内、不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内、不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内、不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内、不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内、不同的取法有多少种？解析(1)从余下的34种商品中、选取2种有C561(种)、某一种假货必须在内的不同取法有561(种)(2)从34种可选商品中、选取3种、有C种或者CCC5 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1件、从15种假货中选取2件有CC2 100(种)恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2种假货有CC种、选取3件假货有C种、共有选取方式CCC2 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555(种)(5)选取3件的总数为C、因此共有选取方式CC6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090(种)组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”、则先将这些元素取出、再由另外元素补足；“不含”、则先将这些元素剔除、再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义、谨防重复与漏解、用直接法和间接法都可以求解、通常用直接法、分类复杂时、考虑逆向思维、用间接法处理提醒：区分一个问题是排列问题还是组合问题、关键在于是否与顺序有关跟踪训练1(20xx市模拟)已知集合A5、B1,2、C1,3,4、从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标、则确定的不同点的个数为()A6B32C33D34解析：C不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA36、但集合B、C中有相同元素1、由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个、故所求的个数为36333(个)、故选C.2(20xx市模拟)若从1,2,3、9这9个整数中同时取4个不同的数、其和为偶数、则不同的取法的种数是()A60种 B63种 C65种 D66种解析：D因为1,2,3、9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数、要使和为偶数、则4个数全为奇数、或全为偶数、或2个奇数和2个偶数、故有CCCC66(种)不同的取法故选D.3五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室、比赛后都回到休息室取衣服由于灯光暗淡、看不清自己的外衣、则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A30种 B31种 C35种 D40种解析：B分类：第一类、两人拿对：2C20(种)；第二类、三人拿对：C10(种)；第三类、四人拿对与五人拿对一样、所以有1种故共有2010131(种)故选B.考点三分组分配问题(多维探究)命题角度1整体均分问题19本不同的书分为三份、每份三本、有_种分法解析：从9本书中任意选出3本、共有C种方法、再从6本书中任意选出3本、共有C种方法、剩下的3本书恰好分成一份、有C(种)方法共有210(种)方法答案：210对于整体均分、解题时要注意分组后、不管它们的顺序如何、都是一种情况、所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)、避免重复计数跟踪训练国家教育部为了发展贫困地区教育、在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生、毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教、有_种不同的分派方法解析：先把6个毕业生平均分成3组、有种方法、再将3组毕业生分到3所学校、有A6(种)方法、故6个毕业生平均分到3所学校、共有A90(种)分派方法答案：90命题角度2部分均匀问题2有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校、每所学校至少去一名、则不同的保送方案共有_种解析：先把4名学生分为2、1、1的3组、有6(种)分法、再将3组对应3个学校、有A6(种)情况、则共有6636(种)不同的保送方案答案：36对于部分均分、解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数、即若有m组元素个数相等、则分组时应除以m！、一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数跟踪训练有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流、则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A150B180C200D280解析：A第1步：将5名学生分成3组、有两种情况、第一类：按3,1,1分组、有C种分法；第2类：按2,2,1分组、有种分法、由分类加法计数原理得、共有C25(种)不同的分组方式；第2步：分配到3个班去、有A种分法、由分步乘法计数原理得、共有A256150(种)不同的分配方法故选A.命题角度3不等分问题3若将6名教师分到3所中学任教、一所1名、一所2名、一所3名、则有_种不同的分法解析：将6名教师分组、分三步完成：第1步、在6名教师中任取1名作为一组、有C种取法；第2步、在余下的5名教师中任取2名作为一组、有C种取法；第3步、余下的3名教师作为一组、有C种取法根据分步乘法计数原理、共有CCC60(种)取法再将这3组教师分配到3所中学、有A6(种)分法、故共有606360(种)不同的分法答案：360对于不等分组、只需先分组、后排列、注意分组时任何组中元素的个数都不相等、所以不需要除以全排列数跟踪训练将3个编号为1,2,3的小球放入2个编号为1,2的盒子中、1号盒放一个、2号盒放两个、有_种方法解析：将3个小球放入2个盒子分2步、第1步、在3个小球中任取1个放入1号盒、有C种第2步、在余下的2个小球中选2个放入2号盒子、有C种故共有CC3(种)方法答案：31(20xx市一模)某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告、现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告、新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告、且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放、则不同的播放顺序共有()A60种B120种C144种 D300种解析：B要在该时间段只保留其中的2个商业广告、有A20种方法、增播一个商业广告、利用插空法有3种方法、再在2个空中、插入两个不同的公益宣传广告、共有2种方法、根据乘法分步计数原理、共有2032120(种)方法故选B.2(20xx市一模)现有12张不同的卡片、其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张、从中任取3张、要求这3张卡片不能是同一种颜色、且红色卡片至多1张、不同的取法种数()A135B172C189D162解析：C由题意、不考虑特殊情况、共有C种取法、其中每一种卡片各取三张、有4种取法、两种红色卡片、共有CC种取法、故所求的取法共有C4CC189(种)3某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言、要求甲、乙2人至少有一人参加、若甲、乙同时参加、则他们发言时顺序不能相邻、那么不同的发言顺序种数为()A720 B520 C600 D360解析：C根据题意、分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加、有CCA480(种)；若甲、乙2人都参加、共有CCA240(种)发言顺序、其中甲、乙相邻的情况有CCAA120(种)、故有240120120(种)则不同的发言顺序种数为480120600(种)故选C.4(20xx东北三省三校一模)数学活动小组由12名同学组成、现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题、且每组只研究一个课题、并要求每组选出一名组长、则不同的分配方案的种数为()A.A BCCC34C.43 DCCC43解析：B将12名同学平均分成四组、共有、分别研究四个不同课题、共有A、从四组中每组选出一名组长、共有34、共计A34CCC34种、故选B.5(20xx市一模)首届中国国际进口博览会于20xx年11月5日在上海国家会展中心盛大开幕。组委会在会议期间将A、B、C、D、E这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作若要求A、B必须在同一组、且每组至少2人、则不同分配方法的种数为_解析：根据题意、分3种情况讨论：A、B在一组、C、D、E都分在另一组、将两组全排列、对应两个地点即可、有A2(种)分配方法；C、D、E中取出1人、与A、B一组、剩下2一组、再将两组全排列、对应两个地点、有CA6(种)分配方法；故一共有268(种)分配方法答案：86.(20xx市一模)用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色、要求有公共边的区域涂不同颜色、一共有_种不同的涂色方法解析：如图A、C、E用同一颜色、此时共有4333108种方法A、C、E用2种颜色、此时共有C6322432(种)方法A、C、E用3种颜色、此时共有A222192(种)方法共有108432192732(种)不同的涂色方法答案：7327将7个相同的球放入4个不同的盒子中、则每个盒子都有球的放法共有_种解析：将7个相同的球放入4个不同的盒子、即把7个球分成4组、因为要求每个盒子都有球、所以每个盒子至少放1个球、不妨将7个球摆成一排、中间形成6个空、只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开、即分成4组、不同的插入方法共有C20(种)、所以每个盒子都有球的放法共有20种答案：208(20xx高考全国卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛、且至少有1位女生入选、则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：当有1位女生入选时、有CC12种、当有2位女生入选时、有CC4种、由分类加法计数原理可得不同选法共有12416种答案：169已知10件不同的产品中有4件是次品、现对它们进行测试、直至找出所有的次品为止(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品、第10次才找到最后一件次品、