2020新课标高考艺术生数学复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理含解析编 辑：_时 间：_第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲核心素养考情聚焦1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题1.分类加法计数原理、达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养2.分步乘法计数原理、达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养3.两个原理的综合应用、提升数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养预计2020年的高考将两个计数原理和排列组合结合起来考查、一般以选择题、填空题形式出现、难度不大、属中低档题型原理分类加法计数原理分步乘法计数原理定义完成一件事有两类不同方案、在第1类方案中有m种不同的方法、在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同的方法完成一件事需要两个步骤、做第1步有m种不同的方法、做第2步有n种不同的方法、那么完成这件事共有Nmn种不同的方法区别各种方法相互独立、用其中任何一种方法都可以完成这件事各个步骤中的方法互相依存、只有各个步骤都完成才能做完这件事分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础、并贯穿其始终(1)分类加法计数原理中、完成一件事的方法属于其中一类、并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中、各个步骤相互依存、步与步之间的方法“相互独立、分步完成”思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)在分类加法计数原理中、两类不同方案中的方法可以相同( )(2)在分类加法计数原理中、每类方案中的方法都能直接完成这件事( )(3)在分步乘法计数原理中、每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( )(4)在分步乘法计数原理中、任何一个单独的步骤都能完成这件事()(5)在分步乘法计数原理中、只有各步骤都完成后、这件事情才算完成()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1从0,1,2,3,4,5这六个数字中、任取两个不同数字相加、其和为偶数的不同取法的种数有()A30B20C10D6解析：D从0,1,2,3,4,5六个数字中、任取两数和为偶数可分为两类、取出的两数都是偶数、共有3种方法；取出的两数都是奇数、共有3种方法、故由分类加法计数原理得共有N336种故选D.2(人教A版教材P10A组T4改编)已知某公园有4个门、从一个门进、另一个门出、则不同的走法的种数为()A16 B13 C12 D10解析：C将4个门编号为1,2,3,4、从1号门进入后、有3种出门的方式、共3种走法、从2,3,4号门进入、同样各有3种走法、共有不同走法3412(种)3(20xx市模拟)教学大楼共有五层、每层均有两个楼梯、由一层到五层的走法有( )A10种 B25种C52种 D24种解析：D每相邻的两层之间各有2种走法、共分4步由分步乘法计数原理、共有24种不同的走法故选D.4(20xx市模拟)如图、用6种不同的颜色把图中A、B、C、D 4块区域分开、若相邻区域不能涂同一种颜色、则涂色方法共有_种(用数字作答)解析：从A开始涂色、A有6种涂色方法、B有5种涂色方法、C有4种涂色方法、D有4种涂色方法由分步乘法计数原理可知、共有6544480(种)涂色方法答案：4805(选修23P12A组第4题改编)如图所示、使电路接通、开关不同的开闭方式有_种解析：当第一组开关有一个接通时、电路接通有C(CCC)14(种)方法；当第一组开关有两个接通时、电路接通有C(CCC)7(种)方法所以共有14721(种)开闭方式答案：21考点一分类加法计数原理(自主练透)题组集训1(20xx市模拟)如图、A、B、C、D为四个村庄、要修筑三条公路、将这四个村庄连起来、则不同的修筑方法共有()A8种B12种C16种D20种解析：C分为以下两类：第一类、从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路、共有4种方法；第二类、一个村最多修两条路、但是象下面这样的两个排列对应一种修路方法、ABCD、DCBA、要去掉重复的这样、因此共有有A12(种)方法根据分类计数原理、知道共有41216(种)、故选C.2A与B是I1,2,3,4的子集、若AB1,2、则称(A、B)为一个理想配集、若将(A、B)与(B、A)看成不同的“理想配集”、则符合此条件的“理想配集”的个数是( )A4 B8 C9 D16解析：C(1)对子集A分类讨论当A是二元集1,2、B可以为1,2,3,4、1,2,4、1,2,3、1,2共4种情况；当A是三元集1,2,3、B可以取1,2,4、1,2共有2种情况；当A是三元集1,2,4、B可以取1,2,3、1,2、共有2种情况；当A是四元集1,2,3,4、此时B取1,2有1种情况、根据分类加法计数原理得42219(种)、故符合此条件的“理想配集”有9个故选C.3(20xx柳州一模)某人设计一项单人游戏、规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处、然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位、如果掷出的点数为i(i1,2、6)、则棋子就按逆时针方向行走i个单位、一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A22种 B24种 C25种 D36种解析：C由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12、抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12、列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4；共有6种组合、前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5；又可以排列出A6(种)结果、3,3,6；5,5,2；有6种结果、4,4,4；有1种结果根据分类计数原理知共有24125(种)结果、故选C.(1)运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”、先分类解决、然后将其整合、如何合理进行分类是解决问题的关键(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：根据问题的特点确定一个适合的分类标准；完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类提醒：分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情、类与类之间是独立的对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法考点二分步乘法计数原理(师生共研)典例(1)(20xx全国卷)如图、小明从街道的E处出发、先到F处与小红会合、再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动、则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24B18C12D9(2)(20xx市一模)某学校开设“蓝天工程博览课程”、组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆、每个年级任选一个博物馆参观、则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有()AAA种 BA5种CCA种 DC54种解析(1)从E到G最短路径条数为CC18.故选B.(2)有两个年级选择甲博物馆共有C种情况、其余四个年级每个年级各有5种选择情况、故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C54种、故选D.答案(1)B(2)D利用分步乘法计数原理解决问题时要注意(1)要按事件发生的过程合理分步、即考虑分步的先后顺序(2)各步中的方法互相依存、缺一不可、只有各步骤都完成才算完成这个事件(3)对完成各步的方法数要准确确定提醒分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分、而未完成这件事、步步之间是相关联的跟踪训练1(20xx市模拟)在航天员进行一项太空实验中、要先后实施6个程序、其中程序A只能出现在第一或最后一步、程序B和C在实施时必须相邻、问实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种 C96种 D144种解析：C根据题意、程序A只能出现在第一步或最后一步、则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列、有A2种结果、又由程序B和C实施时必须相邻、把B和C看做一个元素、同除A外的3个元素排列、注意B和C之间还有一个排列、共有AA48种结果、根据分步计数原理知共有24896种结果、故选C.2(20xx区一模)一次数学会议中、有五位教师来自A、B、C三所学校、其中A学校有2位、B学校有2位、C学校有1位现在五位教师排成一排照相、若要求来自同一所学校的教师不相邻、则共有_种不同的站队方法解析：有五位教师来自A、B、C三所学校、其中A学校有2位、B学校有2位、C学校有1位现在五位教师排成一排照相、要求来自同一所学校的教师不相邻、先按A学校和C学校的三位老师、有A中排法、再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中、有A12(种)排法、由分步乘法计数原理得不同的排列方法有：AA24(种)、先按B学校和C学校的三位老师、有A中排法、再把A学校的两位老师插空排到B学校和C学校的三位老师的空位中、有A12(种)排法、由分步乘法计数原理得不同的排列方法有：AA24(种)、综上、共有N2(AA)48(种)不同的站队方法答案：48考点三两个原理的综合应用(多维探究)命题角度1涂色问题1(20xx区一模)现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色、要求有公共边界的两块不能用同一种颜色、则不同的涂色方法共有()A24种B30种C36种D48种解析：D根据题意、设需要涂色的四个部分依次分、对于区域、有4种颜色可选、有4种涂色方法、对于区域、与区域相邻、有3种颜色可选、有3种涂色方法、对于区域、与区域相邻、有2种颜色可选、有2种涂色方法、对于区域、与区域相邻、有2种颜色可选、有2种涂色方法、则不同的涂色方法有432248(种)；故选D.涂色问题大致有两种解答方案：(1)选择正确的涂色顺序、按步骤逐一涂色、这时用分步乘法计数原理进行计数；(2)根据涂色时所用颜色数的多少、进行分类处理、这时用分类加法计数原理进行计数2如图所示、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色、并使同一条棱上的两端异色、如果只有5种颜色可供使用、则不同的染色方法总数为_解析：法一：可分为两大步进行、先将四棱锥一侧面三顶点染色、然后再分类考虑另外两顶点的染色数、用分步乘法计数原理即可得出结论由题设、四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同、它们共有54360(种)染色方法当S、A、B染好时、不妨设其颜色分别为1、2、3、若C染2、则D可染3或4或5、有3种染法；若C染4、则D可染3或5、有2种染法；若C染5、则D可染3或4、有2种染法可见、当S、A、B已染好时、C、D还有7种染法、故不同的染色方法有607420(种)法二：以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步、S点染色、有5种方法；第二步、A点染色、与S在同一条棱上、有4种方法；第三步、B点染色、与S、A分别在同一条棱上、有3种方法；第四步、C点染色、也有3种方法、但考虑到D点与S、A、C相邻、需要针对A与C是否同色进行分类、当A与C同色时、D点有3种染色方法；当A与C不同色时、因为C与S、B也不同色、所以C点有2种染色方法、D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种)法三：按所用颜色种数分类第一类、5种颜色全用、共有A种不同的方法；第二类、只用4种颜色、则必有某两个顶点同色(A与C、或B与D)、共有2A种不同的方法；第三类、只用3种颜色、则A与C、B与D必定同色、共有A种不同的方法由分类加法计数原理、得不同的染色方法总数为A2AA420(种)答案：420命题角度2几何问题3如果一条直线与一个平面垂直、那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中、由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48 B18 C24 D36解析：D分类讨论：第1类、对于每一条棱、都可以与两个侧面构成“正交线面对”、这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类、对于每一条面对角线、都可以与一个对角面构成“正交线面对”、这样的“正交线面对”有12(个)所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)两个原理在几何问题中的应用、关键是理解好给出的新定义、在此基础上分类讨论分类时标准一定要明确、做到不重不漏、有时要恰当画出示意图或树状图、使问题的分析更直观、清楚、便于探索规律4如果一条直线与一个平面平行、那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中、由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60 B48 C36 D24解析：B长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6636、另令4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6212(个)故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.命题角度3集合、数列问题5设集合I1,2,3,4,5选择集合I的两个非空子集A和B、若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素、则不同的选择方法共有()A50种 B49种 C48种 D47种解析：B从5个元素中选出2个元素、小的给集合A、大的给集合B、有C10(种)选择方法；从5个元素中选出3个元素、有C10(种)选择方法、再把这3个元素从小到大排列、中间有2个空、用一个隔板将其隔开、一边给集合A、一边给集合B、方法种数是2、故此时有10220(种)选择方法；从5个元素中选出4个元素、有C5(种)选择方法、从小到大排列、中间有3个空、用一个隔板将其隔开、一边给集合A、一边给集合B、方法种数是3、故此时有5315(种)选择方法；从5个元素中选出5个元素、有C1(种)选择方法、同理隔开方法有4种、故此时有144(种)选择方法根据分类加法计数原理、总计为102015449(种)选择方法故选B.在解决综合问题时、可能同时应用两个计数原理、即分类的方法可能要运用分步完成、分步的方法可能会采取分类的思想求解分清完成该事情是分类还是分步、“类”间互相独立、“步”间互相联系6(20xx全国卷)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项、其中m项为0、m项为1、且对任意k2m、a1、a2、ak中0的个数不少于1的个数、若m4、则不同的“规范01数列”共有( )A18个 B16个 C14个 D12个解析：C当m4时、数列an共有8项、其中4项为0,4项为1、要满足对任意k8、a1、a2、ak中0的个数不少于1的个数、则必有a10、a81、a2可为0、也可为1.(1)当a20时、分以下3种情况：若a30、则a4、a5、a6、a7中任意一个为0均可、则有4种情况；若a31、a40、则a5、a6、a7中任意一个为0均可、有3种情况；若a31、a41、则a5必为0、a6、a7中任一个为0均可、有2种情况；(2)当a21时、必有a30、分以下2种情况：若a40、则a5、a6、a7中任一个为0均可、有3种情况；若a41、则a5必为0、a6、a7中任一个为0均可、有2种情况综上所述、不同的“规范01数列”共有4323214个、故选C.7(20xx保定调研)已知集合M1,2,3,4、集合A、B为集合M的非空子集、若对xA、yB、xy恒成立、则称(A、B)为集合M的一个“子集对”、则集合M的“子集对”共有_个解析：当A1时、B有231种情况；当A2时、B有221种情况；当A3时、B有1种情况；当A1,2时、B有221种情况；当A1,3、2,3、1,2,3时、B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7313317(个)答案：171已知两条异面直线a、b上分别有5个点和8个点、则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40B16C13D10解析：C分两类情况讨论：第1类、直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类、直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知、共可以确定8513(个)不同的平面故选C.2.(20xx区一模)如图所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成、现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)、要求相邻的面均不同色、则不同的涂色方案共有()A6种 B9种 C12种 D36种解析：C先涂三棱锥PABC的三个侧面、有CC种情况；然后涂三棱柱的三个侧面、有CC种情况；共有CCCC321212(种)不同的涂法故选C.3高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践、但去何工厂可自由选择、甲工厂必须有班级要去、则不同的分配方案有()A16种 B18种 C37种 D48种解析：C三个班去四个工厂不同的分配方案共43种、甲工厂没有班级去的分配方案共33种、因此满足条件的不同的分配方案共有433337(种)故选C.4小明有4枚完全相同的硬币、每枚硬币都分正反两面、他想把4枚硬币摆成一摞、且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对、不同的摆法有()A4种 B5种 C6种 D9种解析：B记反面为1、正面为2、则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种、共有325(种)摆法故选B.5(20xx市模拟)设三位数n100a10bc、若以a、b、c1,2,3,4为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形、则这样的三位数n有()A12种 B24种 C28种 D36种解析：C先考虑等边三角形情况、共有abc1,2,3,4、此时n有4种、再考虑等腰三角形情况、若a、b是腰、即ab、当ab1时、cab2、则c1、与等边三角形情况重复；当ab2时、c4、则c1,3(c2的情况等边三角形已有)、此时n有2种；当ab3时、c6、则c1,2,4、此时n有3种；当ab4时、c8、则c1,2,3、有3种；故n有2338(种)同理、ac时、bc时也都有8种n共有43828(种)故选C.6(20xx市模拟)如图、电路中共有7个电阻与一个电灯A、若灯A不亮、分析因电阻断路的可能性共有_种情况解析：每个电阻都有断路与通路两种状态、图中从上到下的三条支线、分别记为支线a、b、c、支线a、b中至少有一个电阻断路的情况都有2213(种)；支线c中至少有一个电阻断路的情况有2317(种)、每条支线至少有一个电阻断路、灯A就不亮、因此灯A