2020江苏高考理科数学二轮练习：考前高效提分策略第1讲数学思想含解析.doc

教学资料范本2020江苏高考理科数学二轮练习：考前高效提分策略第1讲数学思想含解析编 辑：_时 间：_第1讲数学思想数学思想是数学的基本观点、是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识在解题中主要运用的数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等数学思想的学习与应用主要有以下两个难点： 一是不会从数学思想的角度去分析问题、二是虽然有时运用有关数学思想去解决问题、但方法欠恰当、想法欠成熟一函数与方程思想 函数与方程思想在高考试题中六个方面的思考点和切入点(1)构造等式关系、从函数或方程角度、选择主从变量、直接找到函数或利用二次方程探求出函数性质、再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化、对于函数yf(x)、当y0时、就转化为不等式f(x)0、借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数n的函数、用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)(axb)n(nN*)与二项式定理是密切相关的、利用这个函数、结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题、例如直线和二次曲线的位置关系问题、需要通过解二元方程组才能解决、且均涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算、经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 已知椭圆C1：1和圆C2：x2(y1)2r2(r0)、若两条曲线没有公共点、求r的取值范围【解】思路一：用函数思想来思考 从C1和C2的方程中消去一个未知数、比如消去x、得到一个关于y的方程y22y10r20、由方程变形为r2y22y10把r2y22y10看作y的函数由椭圆C1可知、2y2、因此、求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合、等价于在定义域为2、2的情况下、求函数r2f(y)y22y10的值域由f(2)1、f(2)9、f、可得f(y)的值域是r2、即r、它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合、因此、 两条曲线没有公共点的r的取值范围是0r思路二：用方程思想来思考从C1和C2的方程中消去一个未知数、比如消去x、得到一个关于y的方程y22y10r20、两条曲线没有公共点、等价于方程y22y10r20或者没有实数根、或者两个根y1、y22、2若没有实数根、则44(10r2)或r0、知r应舍去)若两个根y1、y22、2、设(y)y22y10r2、则解得0r1因此、 两条曲线没有公共点的r的取值范围是0r名师点评本题难在由两个曲线方程联立消去一个未知数得到等式后不会处理、或处理方式不当、导致解法出错对于一个含变量限制条件问题的处理、转化为函数问题研究比研究方程的根会更好 (20xx南通模拟)已知集合M(x、y)|(x)(y)1、则集合M表示的图形是_【解析】思路一：把式子中的字母x、y看作变量、把等式中出现的代数式看作函数等式化为xy构造函数f(x)x(xR)、则上式就是f(x)f(y)、由于、函数f(x)x(xR)为R上的增函数、则xy、即xy0所以、集合M表示的图形是直线思路二：构造一个常见的函数g(x)lg(x)(xR)、则g(x)为R上的增函数、且为奇函数又已知等式可化为g(x)g(y)lg(x)lg(y)lg 10于是有g(x)g(y)g(y)、因此xy、即xy0所以、集合M表示的图形是直线思路三：以方程的知识为切入点、设sx、ty、于是、s、t分别是方程s22xs10、t22yt10的正根由此可得s2x0、t2y0、相加得、st2(xy)0、又st1、所以xy0所以、集合M表示的图形是直线【答案】直线名师点评本题难在对所给的式子不会化简、导致半途而废因为所给式子中有两个变量x、y、如果把所给等式进行整理x y 、不难发现能构造函数f(x)x (xR)来解决高考中的压轴题往往需要站在数学思想的角度来研究、蛮干是不行的 本题思路三对于学生来说要求比较高、仅供同学们赏析 已知m、n是正整数、且1mn 证明：(1m)n(1n)m【证明】(1m)n(1n)mnln(1m)mln(1n)因此、可以构造函数g(x)(x2)只要证明g(x)为减函数即可由g(x)0、则g(x)为减函数、由2mg(n)、因而、 于是、(1m)n(1n)m成立名师点评本题难在对要证明的结论与条件不会正确沟通、无法找到联系、导致找不到解法有些看起来不像函数问题、如果通过恰当变形、构造函数、往往会得到妙解 已知、都是锐角、且满足cos2cos2cos22cos cos cos 1求的值【解】由cos2cos2cos22cos cos cos 1可得cos2(2cos cos )cos (cos2cos21)0、看作关于cos 的一元二次方程、4cos2cos24(cos2cos21)4sin2sin2、所以、cos cos()因为、都是锐角、所以cos cos()应舍去因此、cos cos() 、又因为0、00时、由(x)的图象(图2)可以看出、(1)最大 解不等式组得00、所以方程x2ax20有两个非零实根x1、x2由x1x2a、x1x22得|x1x2|本题等价于是否存在m、使不等式m2tm1、对aA、t1、1恒成立把看作关于a的函数T(a)、则式等价于m2tm1T(a)max、由于aA、则T(a)3、从而式转化为m2tm13、即m2tm20、对t1、1恒成立又可以把式的左边看作t的函数记g(t)m2tm2mtm22对m0或m0分类研究若m0、式化为g(t)20、显然不成立；若m0、g(t)是关于t的一次函数、这样、要使g(t)0对t1、1恒成立、只要g(1)0及g(1)0同时成立即可(图3、4)解不等式组得m2或m2所以存在实数m、使不等式m2tm1|x1x2|对任意aA、t1、1恒成立、其取值范围是m|m2或m2名师点评本题难点有三：对题意理解不清；对所求问题不会恰当转化为函数问题；计算分类不准确二分类讨论思想分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的、如绝对值的概念(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的、如等比数列的求和公式等(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时、由于参数在不同范围内取值时、问题的发展方向不同、这就要把参数划分几个部分分类解决(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决、如概率计算中要根据要求、分类求出基本事件的个数(5)较复杂或非常规的数学问题、需要采取分类讨论的解题策略来解决 (20xx徐州模拟)已知数列an中、a11、a22、an(an12an2)(n3、4、)数列bn满足b11、bn(n2、3、)是非零整数、且对任意的正整数m和自然数k、都有1bmbm1bmk1(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记cnnanbn(n1、2、)、求数列cn的前n项和Sn【解】(1)由an(an12an2)得anan1(an1an2)(n3) 、又a2a110、所以数列an1an是首项为1、公比为的等比数列、an1an、ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)111、由、得b21、由、得b31、同理可得当n为偶数时、bn1；当n为奇数时、bn1；因此bn(2)cnnanbnSnc1c2c3c4cn、当n为奇数时、Sn当n为偶数时、Sn、令Tn1234n、得：Tn1234n、得：Tn1nn3(3n)、所以Tn9(93n)因此Sn名师点评对于(2)中的求解难点有二：一是数列cn的通项公式是分段函数、求其前n项和、对n分奇数或偶数的含义是什么要清楚、 当n为奇数时、表示Snc1c2c3c4cn最后一项是奇数项、而不是指Snc1c3cn同样当n为偶数时表示Snc1c2c3c4cn最后一项是偶数项、而不是指Snc2c4cn二是n分奇数或偶数后对括号中数据的观察处理要类比不然项数和符号都会出错 设函数f(x)ax22x2、对于满足1x0、求实数a的取值范围【解】当a0时、f(x)a2、所以或或所以a1或a；当a名师点评本题先对决定开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与开区间的关系分三种进行讨论、即在开区间的左边、右边、中间本题的解答、关键是分析符合条件的二次函数的图象、也可以看成是“数形结合法”的运用三数形结合思想 数形结合思想在高考试题中的六个常考点(1)集合的运算及Venn图；(2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题、可直接从几何图形入手进行求解；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题、可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点) 设M(x、y)|y、a0、N(x、y)|(x1)2(y)2a2、a0、且MN、求a的最大值和最小值【解】如图、集合M表示以O(0、0)为圆心、半径r1a的上半圆、集合N表示以O(1、)为圆心、半径r2a的圆因为MN、所以半圆O和圆O有公共点当半圆O和圆O外切时、a最小；内切时、a最大因为|OO|2、所以外切时、aa2、a22内切时aa2、a22所以a的最大值为22、a的最小值为22名师点评本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题、可谓是极具创新性的解题、既避免常规方法中的繁杂与高难度、又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题、真正达到数形结合的最佳效果 (20xx泰州摸底)满足条件AB2、ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_【解析】以直线AB 为x轴、线段AB的中点为坐标原点O、建立平面直角坐标系、设C(x、y)、则由ACBC、得、所以(x3)2y28点C的轨迹为圆(除去与x轴的交点)、其半径为2则ABC的面积的最大值等于222【答案】2名师点评从解题的简捷性原则考虑、例1中将“数”的问题有机地结合在“形”中解决、使解答更便捷、而本例恰好相反、直接用“形”有一定的难度、若利用“数”运算、建立直角坐标系求解、则问题利于解决这进一步验证了华罗庚教授的“数缺形时少直观、形少数时难入微”的数学思维典语 若方程x2(k2)x2k10的两根中、一根在0和1之间、另一根在1和2之间、求实数k的取值范围【解】设函数f(x)x2(k2)x2k1、结合草图可知、函数f(x)x2(k2)x2k1的图象开口向上、零点x1(0、1)、x2(1、2)、那么、即、解得、即k0恒成立、求a的取值范围【解】设log2t, 则log2log23t、log22t于是、已知的不等式化为(3t)x22tx2t0该不等式对所有实数x恒成立的充要条件是解得t0即log20、进一步解得0a0、所以(2m1