奥数精品讲义第10讲数字谜、数阵、数表--深圳清华实验学校佘珊珊.doc

人的天职在勇于探索真理。 哥白尼 数字谜、数阵、数表第十讲教学目标数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。1 回顾常用的数字谜的解题技巧。2 精讲经典数字谜、及数阵数表。经典精讲数字谜（一） 解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。（二） 要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。（三） 当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。（四） 注意结合进位及退位来考虑。（五） 有时可运用到数论中的分解质因数等方法。【例1】 在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：+ 那么：口+=_。【分析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“+”肯定进位，（否则由百位可知0），且有“+110+”，从而=9，=8。再由个位加法，推知+=8从而口+=9+8+8=25。【拓展】（年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数=_。【分析】首先可以判断，所以，可解得，又因为所以，。【例2】 电子数字如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模 糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式： 。【分析】显然乘积的百位只能是，被乘数的十位和乘数只能是、，才有可能形如，首先排除如果被乘数十位是或，那么乘数无论是、或，都不可能乘出百位是的三位数。所以被乘数十位是，相应得乘数是。被乘数大于，通过尝试得到符合条件的答案：。【例3】 在下面的乘法算式中，“”、“”、“”各代表一个互不相同的数字，求这个算式。 【分析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“”所在的位置较多，紧紧抓住“”所在的位置特点，逐一突破。可以判断“”，由“”可知，因此“”=或。若“”，“”的乘数的百位数字必须大于且小于等于，所以“”，由于“”，可知“ ”，字是单数且小于，故“字”或，当“字”=时，不符合条件，当“字”=时，符合题意。若“”，同理，“”的乘积的百位数字必须大于且小于等于，所以“”=，由 ，可知“”=，但，不符合条件。所以满足条件的算式是：【拓展】在算式：的六个方框中，分别填入，这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被整除，那么这个乘积是_。【分析】先从个位数考虑，有，再考虑乘数的百位只能是或，因此只有三种可能的填法：，其中只有能被整除，所以这个积是。【例4】 在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数是多少？【分析】显然的，由可知，不会超过，否则得到的乘积应该是位数，如果，那么也不能超过，所以只能是，这样的与矛盾，所以，所以，根据，可以尝试出时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：，所以被除数是。【例5】 （2008年迎春杯初赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立。则被除数应是_。808888 WwGDGD80ABDAEFCHXYVCH8888【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。由,得。因为,所以，我们可以得知或者，我们现来看看可以不可以。假设，则没有进位，所得个位必是偶数，必是,因为,所以，必进位。所以，必是奇数。因为， 所以，可能是,。通过试值，逐个排除。这里应用到倒除法，例：说明：,再结合算式中其它部分，例如继续计算：,在算式中，出现矛盾。所以，不成立。 假设，分别将至代入进行计算，我们会发现，A） 若、，会发现第一次除法后的余数都大于除数，所以可以排除；B） 若，得，进而得到，因为的结果是一个两位数，所以或者，当的时候，而没有借位，所以结果最大为，产生矛盾，故，进而推出，符合题目要求，被除数为；C） 若，由第一次除法可以推出，或者，但是无论还是，都无法满足的结果为位数，所以排除；D） 若，则，因为，找不到满足这个等式的整数，所以可以排除；综上所述，的时候满足题目中的式子，被除数为。【例6】 （2008年迎春杯决赛）将数字至分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是 。【分析】三个加数的个位数字之和可能是，；十位数字之和可能是，；百位数字之和可能是，其中只有。要使加数中的四位数最小，尝试百位填，十位填，此时另两个加数的百位只能填，；四位数的加数个位可填，另两个加数的十位可填，个位可填，符合条件，所以加数中的四位数最小是。数阵图、数表【例7】 将填入下图的中，使得任意两个相邻的数之和都不是，的倍数. 【分析】的两边只能是与，的两边只能是与.因为在剩下的，三个数中，与，都不能相邻，所以有下面四种可能：因为处是，所以只有第图可得符合题意的一种填法。【例8】 如图大、中、小三个正方形组成了个三角形，现在把、四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把、分别填在中正方形的四个顶点上；最后把、分别填在小正方形四个顶点上：能不能使个三角形顶点上数字之和都相等?能不能使个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由 【分析】不能如果这个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于。 考察外面的个三角形，每个三角形顶点上的数的和是，在它们的和中，大正方形的、各出现一次，中正方形的、各出现二次。即。 , 但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数，因此这个三角形顶点上数字之和不可能相等 能，右图是一种填法。个三角形顶点数字之和分别是：、。【拓展】将，这个数分别填人右图的个中，使条边上的中的数之和都相等。请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和。 【分析】设三个顶点内所填的数为,，每条边上的和为，三个顶点上的数在求和时各用了次，所以条边上的三数之和相加得；由于所得的和必须能被整除，而，所以的和应被除余，的最小值是，最大值是，所以的最小值是，最大值是。【例9】 一列自然数 ，第一个数是，从第二个数开始，每一个都比它前一个大，最后一个是，现在将这列自然数排成以下数表：0381512714456139101112规定横排为行，竖排为列，则在数表中位于第_行和第_列。【分析】第行的第个数是。 第行的第个数是，第列的第个数是 。 。在第行第列。【附加】如图的数阵是由于个偶数排成的，其中，这六个由一个平等四边形围住，它们的和是。把这个平行四边形沿上下,左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是。那么它们当中位于平行四边形左上角的那个数是_。24681012141618202224262830323436384042142144146148150152154【分析】六个和一共增加：。每个增加,第一个数就变为。【例10】 在右边表格的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行出现的次数，那么第二行的五个数字依次是_。01234【分析】每一空格填一个数，共有个空格，各个数出现的次数综合应该为，即第二行所填的五数之和为，即第二行所填无数之和是，将拆分有以下几种方法：； ；将这几种拆分方法，按各个数字出现频数填入表格，可以发现，只有不会出现矛盾，填法如下：0123421200【例11】 将最小的个合数填到图中所示表格的个空格中，要求满足以下条件： 1)填入的数能被它所在列的第一个数整除； 2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大； 那么，最后一行中个数的和最小可能是_。23456【分析】最小的个合数分别是，。这个合数当中和一定是在的下面，、一定是在和下面，剩下的、在或下面，其中一定在的下面，对和所在的列和和所在的列分别讨论。、，这四个数中最大的数一定在最后一行，最小的数一定在第二行，所以和所在的列中最后一行的数的和最小是，当、在下面，和在下面时成立。、，这四个数中最大的数一定在最后一行，最小的数一定在第二行，所以和所在的列中最后一行的数的和最小是，当和在下面，和在下面时成立。所以最后一行的个数的和是。【例12】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好,其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第行上的数的积，如格应填的数是,求表中除第一行和第一列外其他各个格上的数之和。091113153198121410A16【分析】第二行上除去第一列的数的和为，第三行上除去第一列的数的和为，最后一行除去第一列后所有数的和为。根据乘法分配率，将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数和为。附加题目【例1】 将自然数到分别填在右图的圆圈内，使得途中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等。【分析】。从左下角引出的条直线，设左下角的数为，每条直线上的三个数的和为,则，又由三条横线及左下角引出的一条斜线得,从而结合上面的式子得,，由于只有种方式拆分成两个数的和（即），均没有种方式拆成两个数的和，所以在对角线上，小正方形的顶点处只能填或，经试验不难得出两个如图的解。【例2】 在下面的残缺算式中，只写出五个，那么这个算式的商数是_。 【分析】为了便于说明，用英文来表示几个关键的数。 从除式的第一层看，商的百位数字是，只能是，。 第三层被除数的百位数字明显是，因此第二层中的大于。这样可以断定，。 如果，那么一层中也是。但不是的倍数。所以。 我们现在来看的情形。由于能被整出，由倒除法可以断定除数是，。 第三层，因为，只有满足要求，即。从而，。所以这个算式的商数是。被除数是。完整的除式如图。巩固精练1. 下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。已知不是的倍数，不是的倍数，那么代表的四位数是多少？【分析】首先可以确定的值一定是，的值一定是，所以,所注意为偶数，只能是、，通过检验其他几个条件，可以找到符合条件的只有所以的值为。2. 请在算式中填入不同的四个数码，使等号成立。【分析】在这个数中，剔除质数后只剩下数，通过尝试可得到。3. 将分别填在图中,使每条边上的三个内的数的和相等。 【分析】设三个顶点内所填的数为,，每条边上的和为，三个顶点上的数在求和时各用了次，所以条边上的三数之和相加得，由于的最小值是，最大值是，所以的最小值是，最大值是，的最小值为，的最大值为。当时，即三个顶点数为，。再根据填上其它的数。4. （年华杯赛初赛）华杯赛网址是，将其中的字母组成如下算式：如果每个字母分别代表这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且、，则三位数的最小值是 。【分析】，有，此时只能取，的最小值为，最小取，此时最大只能取，矛盾；的最小值为，此时，符合条件，所以三位数的最小值是。 乒乓球运动属于隔网对抗的技能类体育项目，起源于世纪末的英国，目前是世界上参与人数最多的三个体育项目之一。 年的汉城奥运会上，乒乓球首次被列为正式项目，到年北京主办第届奥运会时，它将是连续第六次出现在夏季奥运会正式比赛项目的名单上。 作为世界公认的中国的“国球”，乒乓球在奥运会上是中国体育代表团的优势项目，中国乒乓球队几乎垄断了奥运会这一项目的金牌。过去的届奥运会共计产生枚乒乓球金牌，其中枚都为中国运动员所摘取，旁落的枚金牌中包括枚最受重视的男子单打金牌，分别在年的汉城奥运会、年的巴塞罗那奥运会和年的雅典奥运会上被韩国的刘南奎、瑞典的瓦尔德内尔和韩国的柳承敏夺得，另外一枚女子双打金牌在年为东道主韩国队所获。 奥运会乒乓球赛原本设有男子单打、女子单打、男子双打和女子双打个比赛项目，而国际乒乓球联合会出于增加比赛精彩程度的考虑，在雅典奥运会期间与国际奥委会及相关各方商议后，宣布在不增加参赛总人数的情况下，在年奥运会上以团体比赛取代双打比赛。该项提议已经在年月的国际奥委会新加坡会议上获得批准。 第届奥运会乒乓球将于年月日至日在北京大学校园内的北京大学体育馆举行，比赛项目为男子团体、女子团体、男子单打、女子单打。第一位向珠穆朗玛峰发起挑战的是英国人马洛瑞，他从l921年开始的3次攀登珠峰都以失败告终，而他本人也在第三次攀登中失踪。 他的队员激奋地在媒体面前说：“珠穆朗玛峰!你可以打败我们一次、二次、三次