高二数学必修5 分期付款中的有关计算 课件.ppt

分期付款中的有关计算 分期付款中的有关计算 教学目的 了解什么是分期付款 学会分期付款中的有关计算的方法 二 能对各种类型的分期付款进行计算 三 能从日常生活中提出实际的分期付款问题 并对其中的有关问题进行计算 教学重点与难点 理清有关概念并把付款等实际问题转化为数学中数列问题 一概念 1 分期付款 分期付款是商家为了促进商品的销售 便于顾客买一些销售价较高的商品 如房子 汽车等 所采用的一种付款方式 分期付款要注意 l 付款的间隔时间相同 2 每期付款额相同 这里请大家思考 某人买一辆价值120000元的汽车 要在一年内分12次 即每月还款一次 等额付款 2 复利计算 所谓复利计算 即上期 或月 或年 的利息要计入下期的本金 例如 月利率为0 008 款额a元过1个月就增值为 a 1 0 008 1 008a元 1 008a 1 0 008 1 0082a 那么每次还10000元可以吗 为什么 再过一个月 即2个月后 就增值为 那么 经过x个月后 a元增值为a 1 0 008 x元 所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去 3 单利计算 填空 1 假定银行存款月利率为p 某人存入a元 每月利息按复利计算 过1个月的本息和为 过2个月的本息和为 过6个月的本息和为 过n个月的本息和为 例1 某顾客买一件价值为5000元的商品时 采用分期付款 月利息率为0 008 的方式 那么在一年内将款全部付清的前提下 商店又提出了以下三种付款方式 方式一 分3次还清 即购买后4个月第一次付款 再过4个月第二次付款 再过4个月第三次付款 方式二 分6次还清 即购买后2个月第一次付款 再过2个月第二次付款 购买后12个月第6次付款 方式三 分12次还清 即购买后1个月第一次付款 再过1个月第二次付款 购买后12个月第12次付款 提问 每种方式每期所付款额 付款总额及与一次性付款的差额 首先 作为解决这个问题的第一步 我们来研究一下 在商品购买后一年贷款全部付清时 其商品售价增值到了多少 由于月利率为0 008 在购买商品后1个月 即第1次付款时 该商品售价增值为 5000 l 0 008 5000 1 008 元 由于利息按复利计算 在商品购买2个月商品增值为 5000 1 008 1 0 008 5000 1 0082 元 于是 在商品购买后12个月 即货款全部付清时 其售价增值为 5000 1 00811 1 0 008 5000 1 00812 元 提问 讨论 假定每期付款 存入 x元 方式二 方法1 存入方式计算 反过来想 即 x 1 0082x 1 0084x 1 0086x 1 0088x 1 00810 x 5000 1 00812 即可写成 x 1 1 0082 1 0084 1 0086 1 0088 1 00810 5000 1 00812 5000 1 00812 算得 x 880 8 元 即每次所付款额为880 8元 因此6次所付款额共为 880 8 6二5285 元 它比一次性付款多付285元 第2个月末存入x后到第12月末本息和为1 00810 x 第4个月末存入x后到第12月末本息和为1 0088x 第6个月末存入x后到第12月末本息和为1 0086x 第12个月末存入x后无利息 于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的本息之和为 讨论 假定每期付款 存入 x元 方式二 方法2 付款方式计算 正面想 a2 5000 1 0082 x 1 0082 x 5000 1 0084 1 0082 1 x a3 5000 1 0086 1 0084 1 0082 1 x a6 5000 1 00812 1 00810 1 0088 1 0086 1 0084 1 0082 1 x 依题意 成交之日起5000元就开始产生利息 则a1 5000 1 0082 x a6 0 当分期付款采用方式一和方式三时 每期应付款额多少 付款总额与一次性付款相差多少 方式一 付款总额为5327对元 它比一次性付款多327元 方式三 付款总额为5263元 它比一次性付款多263元 例2 某人采用零存整取方式存款 他每月初第一天存人l00元 到第12月最后一天取出全部本利和 已知月利率为0 165 请分别按单利和复利计息 到年底的本利和是多少 所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去 解 1 若按单息计算 则 第1个月存入的100元的利息为100 0 l65 12 第2个月存入的100元的利息为100 0 165 11 第12个月存入的100元的利息为100 0 165 1 于是全部利息和为 s12 100 0 165 12 100 0 165 11 100 0 165 1 100 0 165 l 2 12 0 165 78 12 87 元 到年底的本利和是1200 12 87 1212 87 而本金共100 12二1200元 2 若按复利计算 则各月的本利和是 第1个月存入的100元本利和100 l 0 165 12 第2个月存入的100元本利和100 1 0 165 11 第12个月存入的100元本利和100 1 0 165 1 于是全部本利和是 s12 100 l 0 165 100 0 165 2 100 1 0 165 3 100 1 0 165 12 二1212 94 元 答 若按单息计算 到年底所取出的本利息是1212 87无 若按复息计算 到年底的本利和是1212 94元 例3 某人购买价值为10000元的彩电 采用分期付款的方法 每期付款数相同 购买后1个月付款一次 过1个月再付一次 如此下去 到第24次付款后全部付清 已知月利率为0 8 如果每月利息按复利计算 那么每期应付款多少元 精确到1元 解 设每期付款为x元 第1期付款x元连同到最后款全部付清时所生利息之和为x 1 0 008 23 第2期付款x元连同到最后款全部付清时所生利息之和为x 1 0 008 22 第24期付款x元 没有利息 于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为 a x x 1 0 008 x 1 0 008 2 1 0 008 23 元 另一方面 这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和为 b 104 l 0 008 24 元 由题意得 即 答 这个人每期应付款460元 x l 0 008 1 0082十 十1 00823 104 1 00824 例4 成老师欲从银行贷款 购买一套自己满意的住房 按规定 政策性住房贷款的年息为9 6 最长年限为10年 可以分期付款 成老师根据自己的实际情况估计每年最多可偿还5000元 打算平均10年还清 如果银行贷款按复利计算 那么成老师最大限额的贷款是多少元 解 由于每年最多还款5000元 且分10年平均还清 所以 第1期付款5000元连同到最后款全部付清时所生利息之和为 5000 1 0 096 9 元 第2期付款5000元连同到最后款全部付清时所生利息之和为 5000 1 0 096 8 元 第10期付款5000元 没有利息 于是各期所付的款5000元连同到最后一次付款时所生的利息之和为 a 5000 5000 l 0 096 5000 1 0 096 9 另一方面 设成老师最大限额的贷款为x元 则这x元10年后所生的本息之和为 x 1 0 096 10 根据题有 x 1十0 096 10 5000 1 1 096 1 0969 由等比数列的前n项和公式得 x 31258元 答 成老师最大限额的贷款数目为31258元 小结 分期付款问题的一般计算公式 一般地 购买一件售价为a元的商品 或贷款a元 采用上述分期付款时要求在m个月内分n次付清 n是m的约数 月利率为p 那么每期付款的计算公式是什么呢 设每期付款x元 则 2 若按复利计算 则 第1个月存入的100元的利息为100 1 0 165 11 0 165 第2个月存入的100元的利息为100 l 0 165 10 0 165 第12个月存入的100元