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1 2 2单位圆与三角函数线 前面我们研究了三角函数在各象限内的符号 学习了将任意角的三角函数化成0 到360 角的三角函数的一组公式 由三角函数的定义我们知道 对于角 的各种三角函数我们都是用比值来表示的 或者说是用数来表示的 今天我们再来学习正弦 余弦 正切函数的另一种表示方法 几何表示法 我们首先建立下面的坐标系 在观览车转轮圆面所在的平面内 以观览车转轮中心为原点 以水平线为x轴 以转轮半径为单位长建立直角坐标系 设p点为转轮边缘上的一点 它表示座椅的位置 记 则由正弦函数的定义可知 1 单位圆的概念 一般地 我们把半径为1的圆叫做单位圆 设单位圆的圆心与坐标原点重合 则单位圆与x轴的交点分别为a 1 0 a 1 0 而与y轴的交点分别为b 0 1 b 0 1 2 有向线段的概念 带有方向的线段叫有向线段 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定 如在数轴上 oa 3 ob 3 设任意角 的顶点在原点 始边与x轴的正半轴重合 终边与单位圆相交于点p x y 过p作x轴的垂线 垂足为m 做pn垂直y轴于点n 则点m n分别是点p在x轴 y轴上的正射影 3 三角函数线 根据三角函数的定义有点p的坐标为 cos sin 其中cos om sin on 这就是说 角 的余弦和正弦分别等于角 的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标 以a为原点建立y 轴与y轴同向 y 轴与 角的终边 或其反向延长线 相交于点t 或t 则tan at 或at 我们把轴上的向量分别叫做 的余弦线 正弦线和正切线 例1 分别作出 的正弦线 余弦线 正切线 例2 比较大小 1 sin1和sin1 5 2 cos1和cos1 5 3 tan2和tan3 解 由三角函数线得 sin1 sin1 5 cos1 cos1 5 tan2 tan3 例3 已知sinx 0 5 求角x的大小 0 x 360 解 由在y轴上找到y 0 5的点 做x轴的平行线 交单位圆于点p和p 两点 由三角函数线知x1 30 x2 150 例4 利用三角函数线证明 sin cos 1 证明 在 omp中 op 1 om cos mp on sin 因为三角形两边之和大于第三边 所以 sin cos 1 例5 已知 0 试证明sin tan 证明 sin on mp tan at 又 所以 即sin tan 小结 1 给定任意一个角 都能在单位圆中作出它的正弦线 余弦线 正切线 2 三角函数线的位置 正弦线为从原点到 的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段 余弦线为从原点到 的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上 为有向线段 3 特殊情况 当角的终边在x轴上时 点p与点m重合 点t与点a重合 这时正弦线与正切线都变成了一点 数
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